در جمله‌ی زیر بجای writing از to write میشه جایگزین کرد؟

بله، در جملهٔ "After he left, they began writing letters to US politicians" می توان کلمهٔ "writing" را با "to write" جایگزین کرد. در این صورت، جمله به صورت زیر خواهد بود:

این دو جمله معنای یکسانی دارند و تفاوت آنها تنها در ساختار جمله است. در جملهٔ اول، فعل "writing" در زمان حال استمراری (Present Continuous) است و نشان می دهد که افراد در حال انجام دادن عمل نوشتن نامه ها هستند. در جملهٔ دوم، فعل "to write" در زمان آینده ساده (Simple Future) است و نشان می دهد که افراد قصد دارند در آینده اقدام به نوشتن نامه ها کنند.