تست هوش و ریاضی

بازه زمانی مشترک هر سه چرخه 48 ثانیه (ک.م.م) است. در این بازه باید زمان‌هایی که هر سه لامپ به‌طور هم‌زمان خاموش هستند را مشخص کنیم.

• لامپ اول در بازه 3−6، 9−12، 15−18، ... خاموش است.
• لامپ دوم در بازه 6−12، 18−24، 30−36، ... خاموش است.
• لامپ سوم در بازه 8−16، 24−32، 40−48 خاموش است.

اکنون باید بررسی کنیم که چه زمانی این بازه‌های خاموشی هم‌پوشانی دارند.

با توجه به این بازه‌ها، تنها در زمان صفر (شروع) و سپس در 48 ثانیه چرخه‌ها تکرار می‌شوند. بنابراین:

اما در بازه 60 ثانیه‌ای باید محاسبه کنیم که چه مقدار زمان کل سه لامپ خاموش بوده‌اند.

در بازه 60 ثانیه‌ای هر سه لامپ تنها در زمان‌های خاص و محدودی هم‌زمان خاموش هستند. مجموع زمان خاموشی هر سه لامپ دقیقاً:

4 ثانیه از کل یک دقیقه خواهد بود.

با نوشتن الگو های هر کدام به صورت سه تا سه تا، شش تا شش تا و هشت تا هشت تا بازه های روشن و خاموش مشخص میشن.

در سه بازه سه ثانیه‌ای 

(9-12 )  و (48-45 ) و  (60-57)

هر سه لامپ خاموش هستن 

در مجموع  جواب میشه ۹ ثانیه 

طی بررسی جدولی که برای این سه لامپ انجام شد، مشخص شد که 

در طی ثانیه‌های 9 تا 12، و 45 تا 48 و همچنین 57 تا 60 شاهد خاموشی همزمان هر سه لامپ هستیم.

برای حل این مسئله، باید بازه‌هایی را پیدا کنیم که هر سه لامپ به طور همزمان خاموش باشند. برای این کار، ابتدا رفتار هر لامپ را بررسی می‌کنیم:

1. لامپ اول: هر 66 ثانیه یک چرخه ( 33 ثانیه روشن و 33 ثانیه خاموش) دارد.
2. لامپ دوم: هر 1212 ثانیه یک چرخه ( 66 ثانیه روشن و 66 ثانیه خاموش) دارد.
3. لامپ سوم: هر 1616 ثانیه یک چرخه ( 88 ثانیه روشن و 88 ثانیه خاموش) دارد.

قدم اول: بررسی چرخه زمانی مشترک

برای بررسی رفتار هم‌زمان هر سه لامپ، باید کوچک‌ترین مضرب مشترک (LCM) دوره‌های زمانی چرخه‌هایشان را پیدا کنیم:

• چرخه‌های زمانی: 66، 1212، 1616
• LCM(6,12,16)=48\text{LCM}(6, 12, 16) = 48

بنابراین، رفتار هر سه لامپ در یک چرخه 4848 ثانیه‌ای تکرار می‌شود.

قدم دوم: بررسی زمان‌های خاموشی

حال باید بازه‌هایی را پیدا کنیم که هر سه لامپ به طور همزمان در 4848 ثانیه خاموش باشند. بازه‌های خاموشی هر لامپ به صورت زیر است:

1. لامپ اول: خاموش در بازه‌های [3,6],[9,12],[15,18],…[3, 6], [9, 12], [15, 18], \dots
2. لامپ دوم: خاموش در بازه‌های [6,12],[18,24],[30,36],…[6, 12], [18, 24], [30, 36], \dots
3. لامپ سوم: خاموش در بازه‌های [8,16],[24,32],[40,48],…[8, 16], [24, 32], [40, 48], \dots

قدم سوم: پیدا کردن اشتراک بازه‌ها

حال، نقاط مشترک بین بازه‌های خاموشی هر سه لامپ را پیدا می‌کنیم. این کار را می‌توان با بررسی دستی یا با نوشتن یک برنامه انجام داد. برای هر بازه زمانی، باید بررسی کنیم که آیا آن بازه در محدوده خاموشی هر سه لامپ قرار دارد یا نه.

نتیجه:

پس از بررسی دقیق:

بنابراین در 60 ثانیه فقط 1 ثانیه هر سه لامپ خاموش هستند.

کوچکترین مضرب مشترک 3، 6 و 8 برابر است با 24 یعنی اگر سه لامپ در لحظه 0 شروع به روشن-خاموش شدن کنند، این سیکل دقیقاً هر 24 ثانیه به همان شکل تکرار خواهد شد و در انتهای این سیکل هر سه چراغ به مدت 3 ثانیه خاموش هستند. در 1 دقیقه 2 تکرار 24 ثانیه ای کامل وجود دارد پس در یک دقیقه 6 ثانیه خاموشی همزمان داریم.

 60 ثانیه شامل یک چرخه کامل 48 ثانیه‌ای و 12 ثانیه اضافه است:

در چرخه 48 ثانیه‌ای، 8 ثانیه خاموشی مشترک داریم.

در 12 ثانیه باقیمانده، هیچ خاموشی مشترک جدیدی رخ نمی‌دهد (زیرا چرخه در 48 ثانیه کامل می‌شود).

پس جواب میشه 8 ثانیه

زمان های مشترک خاموش بودن هر سه لامپ ۱۸-۲۱ و ۵۴-۵۷ ثانیه است. پس مجموعاً در ۶ ثانیه از بازه  زمانی یک دقیقه‌ای، هر سه لامپ خاموش هستند

ساده‌ترین راه حل، رسم  یک جدول ۳ سطری، تقسیم سطر اول به ۶۰/۳=۲۰، سطر دوم به ۶۰/۶=۱۰ و سطر سوم به ۶۰/۸=۷.۵  واحد است.
سپس در هر سطر خانه‌های زوج رو رنگی کنیم، بعد ببینیم چند ستون کاملا رنگی شده‌اند.
در این صورت می‌بینیم که از ثانیه‌ی ۹ تا ۱۲، از ثانیه‌ی ۴۵ تا ۴۸ و از ثانیه‌ی ۵۷ تا ۶۰ هر سه لامپ خاموش هستند.
بنابراین جواب برابر  ۳+۳+۳=۹ ثانیه است.

درود 

برای پاسخ به این سوال، باید زمان‌هایی که هر سه لامپ به طور همزمان خاموش هستند رو پیدا کنیم.

حالا بیایید این بازه‌ها رو بررسی کنیم:

• لامپ اول هر ۳ ثانیه روشن و ۳ ثانیه خاموش است. پس در بازه ۶ ثانیه‌ای، ۳ ثانیه روشن و ۳ ثانیه خاموش است.
• لامپ دوم هر ۶ ثانیه روشن و ۶ ثانیه خاموش است. پس در بازه ۱۲ ثانیه‌ای، ۶ ثانیه روشن و ۶ ثانیه خاموش است.
• لامپ سوم هر ۸ ثانیه روشن و ۸ ثانیه خاموش است. پس در بازه ۱۶ ثانیه‌ای، ۸ ثانیه روشن و ۸ ثانیه خاموش است.

حالا بیایید زمان‌های خاموش بودن هر لامپ رو با هم مقایسه کنیم تا زمان‌های مشترک خاموش بودن رو پیدا کنیم.

در جدولی که به صورت پیوست بارگذاری کرده  ام ؛ نشان دهنده زمان‌های خاموش بودن هر لامپ در بازه ۶۰ ثانیه‌ای است.

در یک دقیقه، هر سه لامپ به مدت 3 ثانیه به طور همزمان خاموش بوده اند.

• لامپ 1: خاموش در ثانیه‌های 3-5، 9-11، 15-17، ... (هر 3 ثانیه).
• لامپ 2: خاموش در ثانیه‌های 6-11، 18-23، 30-35، ... (هر 6 ثانیه).

• لامپ 3: خاموش در ثانیه‌های 8-15، 24-31، 40-47، ... (هر 8 ثانیه).

  در کل 8 ثانیه  هر 3لامپ همزمان خاموش بودن

* لامپ اول (3 ثانیه روشن، 3 ثانیه خاموش): این لامپ هر 6 ثانیه یک بار خاموش است.

* لامپ دوم (6 ثانیه روشن، 6 ثانیه خاموش): این لامپ هر 12 ثانیه یک بار خاموش است.

* لامپ سوم (8 ثانیه روشن، 8 ثانیه خاموش): این لامپ هر 16 ثانیه یک بار خاموش است.

خب باید کوچکترین مضرب مشترک (کمترین مضرب مشترک) از 6، 12 و 16 را پیدا کنیم. این عدد نشان می‌دهد که بعد از چند ثانیه، هر سه لامپ به طور همزمان خاموش هستند.

کوچکترین مضرب مشترک 6، 12 و 16 برابر با 48 است. یعنی هر 48 ثانیه، هر سه لامپ همزمان خاموش هستند.

یک دقیقه برابر با 60 ثانیه است. در 60 ثانیه، چند دوره 48 ثانیه‌ای وجود دارد؟

60 / 48 = 1.25

یعنی در طول یک دقیقه، یک بار کامل (48 ثانیه) هر سه لامپ همزمان خاموش هستند. اما از آنجا که 1.25 است، یعنی در 12 ثانیه آخر هم هر سه لامپ همزمان خاموش نیستند.

بنابراین، در 48 ثانیه از 60 ثانیه، هر سه لامپ خاموش هستند.

پاسخ: 48 ثانیه