معادله صفحه ی مماس بر هذلولی

برای پیدا کردن معادله صفحه مماس بر هذلولی، می‌توان از روش زیر استفاده کرد:

فرض کنید هذلولی به صورت زیر داده شده است:

(x/a)^2 + (y/b)^2 - (z/c)^2 = 1

که در آن a، b و c شعاع‌های اصلی هذلولی هستند.

برای پیدا کردن معادله صفحه مماس در نقطه (x0, y0, z0) روی هذلولی، باید مشتقات جزئی معادله هذلولی را در آن نقطه محاسبه کنیم:

∂/∂x (x/a)^2 + ∂/∂y (y/b)^2 - ∂/∂z (z/c)^2 = 0

که این معادله را می‌توان به صورت زیر نوشت:

x0/a^2 + y0/b^2 - z0/c^2 = 0

معادله صفحه مماس در نقطه (x0, y0, z0) به صورت زیر خواهد بود:

(x/a^2)x0 + (y/b^2)y0 - (z/c^2)z0 = 1

این معادله را می‌توان به صورت استاندارد زیر نوشت:

Ax + By + Cz = D

که در آن:

A = x0/a^2

B = y0/b^2 

C = -z0/c^2

D = 1

به این ترتیب، می‌توانید با استفاده از این روش، معادله صفحه مماس بر هذلولی را در هر نقطه‌ای پیدا کنید

پس میشه  973

اول از همه، معادله صفحه رو داریم: (x^2)/5 + (y^2)/3 - (z^2) = -1

برای پیدا کردن معادله مماس، باید بردار عمود بر صفحه (بردار نرمال) رو در نقطه (5,3,2) پیدا کنیم. بردار نرمال مثل یک عصا عمود بر صفحه هست.

برای پیدا کردن بردار نرمال، مشتق جزئی معادله صفحه رو نسبت به x، y و z می‌گیریم. مشتق جزئی یعنی فقط نسبت به یک متغیر مشتق می‌گیریم و بقیه رو ثابت در نظر می‌گیریم. مثلاً:

• مشتق جزئی نسبت به x می‌شه: (2x)/5
• مشتق جزئی نسبت به y می‌شه: (2y)/3
• مشتق جزئی نسبت به z می‌شه: -2z

حالا این مشتق‌ها رو در نقطه (5,3,2) قرار می‌دیم تا بردار نرمال رو پیدا کنیم:

• (2(5))/5 = 2
• (2(3))/3 = 2
• -2(2) = -4

پس بردار نرمال می‌شه: (2,2,-4)

حالا برای نوشتن معادله صفحه مماس، از فرمول زیر استفاده می‌کنیم:

(x-x0, y-y0, z-z0) . (a,b,c) = 0

که (x0,y0,z0) نقطه‌ای هست که صفحه از اون می‌گذره، یعنی (5,3,2)، و (a,b,c) بردار نرمال هست، یعنی (2,2,-4).

پس معادله مماس می‌شه:

(x-5, y-3, z-2) . (2,2,-4) = 0

اگه نقطه ضرب رو باز کنیم، به این معادله می‌رسیم:

2(x-5) + 2(y-3) - 4(z-2) = 0

یا:

2x + 2y - 4z - 4 = 0

پس معادله صفحه مماس بر صفحه اصلی در نقطه (5,3,2) برابر هست با 2x + 2y - 4z - 4 = 0.
حل کردن این جور سوال‌ها خیلی سخت نیست. فقط کافیه چند قدم ساده رو به ترتیب انجام بدی:

۱. اول، اون عددهایی که به جای x، y و z تو نقطه داده شده رو تو معادله صفحه قرار بده. این کار رو میگن "جایگذاری".

۲. بعد، با جایگذاری، مشتق جزئی معادله رو نسبت به x، y و z پیدا کن. این کار یه کم شبیه پیدا کردن شیب یه خط مماس به منحنیه، فقط برای سطح‌های سه‌بعدی.

۳. حالا، اعدادی که در قدم ۱ پیدا کردی رو تو نتیجه قدم ۲ بذار. عددهایی که به دست میاد، تشکیل دهنده یه بردار به اسم "بردار عمود" یا "نرمال" هستن. این بردار مثل یه مداد عمود بر صفحه مماس وایمیسته.

۴. خب دیگه تقریباً همه چی آماده است. فقط مونده معادله خط رو بنویسی. برای این کار، از فرمول "(x-x₀, y-y₀, z-z₀) . (a,b,c) = 0" استفاده کن. (x₀,y₀,z₀) همون نقطه اولیه است و (a,b,c) بردار نرمالی هست که تو قدم ۳ پیدا کردی.

۵. تو قدم آخر، فرمول بالا رو باز کن و ساده کن. بعد از باز کردن پرانتزها و ضرب، به یه معادله شبیه "Ax + By + Cz + D = 0" می‌رسی. این همون معادله صفحه مماسه!

این روش برای حل این نوع سوال‌ها، روش مشتق جزئی نام داره. درسته که یه کم ریاضیاتش سنگینه، ولی مطمئنم با تمرین زیاد خیلی زود یاد می‌گیریش و توش ماهر میشی.

برای پیدا کردن معادله صفحه مماس بر هذلولی، می‌توان از روش زیر استفاده کرد:

فرض کنید هذلولی به صورت زیر داده شده است:

(x/a)^2 + (y/b)^2 - (z/c)^2 = 1

که در آن a، b و c شعاع‌های اصلی هذلولی هستند.

برای پیدا کردن معادله صفحه مماس در نقطه (x0, y0, z0) روی هذلولی، باید مشتقات جزئی معادله هذلولی را در آن نقطه محاسبه کنیم:

∂/∂x (x/a)^2 + ∂/∂y (y/b)^2 - ∂/∂z (z/c)^2 = 0

که این معادله را می‌توان به صورت زیر نوشت:

x0/a^2 + y0/b^2 - z0/c^2 = 0

معادله صفحه مماس در نقطه (x0, y0, z0) به صورت زیر خواهد بود:

(x/a^2)x0 + (y/b^2)y0 - (z/c^2)z0 = 1

این معادله را می‌توان به صورت استاندارد زیر نوشت:

Ax + By + Cz = D

که در آن:
A = x0/a^2
B = y0/b^2 
C = -z0/c^2
D = 1

به این ترتیب، می‌توانید با استفاده از این روش، معادله صفحه مماس بر هذلولی را در هر نقطه‌ای پیدا کنید.

برای یافتن معادله صفحه مماس به هذلولی گون x^2/5 + y^2/3 - z^2 = 1    در نقطه (5,3,3)، ابتدا معادله هذلولی‌گون را به صورت کلی در نقطه دلخواه (x₀, y₀, z₀) بازنویسی می‌کنیم: 

(x - x₀)²/a² + (y - y₀)²/b² - (z - z₀)²/c² = 1 

در اینجا (x₀, y₀, z₀) = (5, 3, 3) و a² = 5، b² = 3، c² = 1 است.

 حال برای مشتق‌گیری از معادله هذلولی‌گون نسبت به x، y، و z و اعمال شرط (x₀, y₀, z₀)، معادله صفحه مماس به هذلولی‌گون داریم: 

(2(x - 5))/5 + (2(y - 3))/3 - (2(z - 3))/1 = 0

(2x - 10)/5 + (2y - 6)/3 - 2z + 6 = 0

2x/5 + 2y/3 - 2z - 4/5 - 2 = 0

2x/5 + 2y/3 - 2z - 14/5 = 0

 با ضرب کردن همهٔ اعضای معادله در 5، معادلهٔ 3x + 2y - 10z - 14 = 0 به دست می‌آید. بنابراین، معادلهٔ مماس از گزینهٔ1) 

 3x + 2y - 6z - 3 = 0 است.

معادله صفحه مماس بر صفحه z=ln(2x+y) ⁡ ( 2 x + y ) را در نقطه (−1,3) بیابید. به منظور یافتن معادله صفحه، کافی است، عبارت‌های مورد نیاز در عبارت فوق را بدست آورد. در ادامه این کار انجام شده است.
گزینه - ۳

برای پیدا کردن معادله صفحه مماس بر هذلولی، می‌توان از روش زیر استفاده کرد:

فرض کنید هذلولی به صورت زیر داده شده است:

(x/a)^2 + (y/b)^2 - (z/c)^2 = 1

که در آن a، b و c شعاع‌های اصلی هذلولی هستند.

برای پیدا کردن معادله صفحه مماس در نقطه (x0, y0, z0) روی هذلولی، باید مشتقات جزئی معادله هذلولی را در آن نقطه محاسبه کنیم:

∂/∂x (x/a)^2 + ∂/∂y (y/b)^2 - ∂/∂z (z/c)^2 = 0

که این معادله را می‌توان به صورت زیر نوشت:

x0/a^2 + y0/b^2 - z0/c^2 = 0

معادله صفحه مماس در نقطه (x0, y0, z0) به صورت زیر خواهد بود:

(x/a^2)x0 + (y/b^2)y0 - (z/c^2)z0 = 1

این معادله را می‌توان به صورت استاندارد زیر نوشت:

Ax + By + Cz = D

که در آن:
A = x0/a^2
B = y0/b^2 
C = -z0/c^2
D = 1

به این ترتیب، می‌توانید با استفاده از این روش، معادله صفحه مماس بر هذلولی را در هر نقطه‌ای پیدا کنید.