تست ریاضی تابع کنکور ( پیوستگی تابع )

برای این بررسی در مورد پیوسته یا ناپیوسته بودن تابع، باید مقدار تابع را در نقطه 1=x از سمت چپ و راست محاسبه کنیم و ببینیم آیا حدهای چپ و راست با هم و با مقدار تابع در آن نقطه برابر هستند یا نه.

ابتدا مقدار تابع را در 1=x به دست می‌آوریم:
f(1) = 2/3

حالا حد چپ را محاسبه می‌کنیم:
lim⁡(x→1⁻) f(x) = lim⁡(x→1⁻) (x/(x-1)) = 1⁻/0⁻ = -∞

و حد راست:
lim⁡(x→1⁺) f(x) = lim⁡(x→1⁺) 1 = 1

می‌بینیم که:
- حد چپ متفاوت از حد راست است، بنابراین حد دوطرفه وجود ندارد.
- مقدار تابع در 1=x با حد چپ و حد راست برابر نیست.

بنابراین تابع در نقطه 1=x ناپیوسته است. دلیل آن، وجود نقطه تکین از نوع قطب ساده در مخرج تابع است که موجب می‌شود مقدار تابع در 1=x تعریف نشده باشد.

در نتیجه داریم:
- تابع f(x) در 1=x ناپیوسته است و حد دو طرفه ندارد.
- علت ناپیوستگی، وجود نقطه تکین از نوع قطب ساده (ناپیوستگی رفع‌نشدنی) در مخرج کسر است.
بنابراین، تابع فقط در ناحیه x < 1 ناپیوسته است و در نتیجه، گزینه اول پاسخ درست این سؤال است.