سه سوال سخت انتگرال دانشگاه؛ خیلی فوری

بله، با کمال میل. برای حل این سه انتگرال، به ترتیب هر یک را به طور مفصل توضیح می‌دهم:

انتگرال اول:

[\int x\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)^{1/2} dx]

حل:

 * تعویض متغیر: برای ساده‌سازی عبارت، از تعویض متغیر زیر استفاده می‌کنیم:

   * u = 1 - x^2

   * du = -2x dx

 * جایگذاری در انتگرال: با جایگذاری u و du در انتگرال، خواهیم داشت:

   [-\frac{1}{2} \int \left(\frac{u}{2-u}\right)^{1/2} du]

 * ساده‌سازی: با فاکتورگیری از 2 در مخرج کسر زیر رادیکال، داریم:

   [-\frac{1}{2\sqrt{2}} \int \left(\frac{u}{1-\frac{u}{2}}\right)^{1/2} du]

 * تعویض متغیر مجدد: برای حل این انتگرال، از تعویض متغیر دیگری استفاده می‌کنیم:

   * v = u/(1-u/2)

 * حل انتگرال: با انجام این تعویض و حل انتگرال، به پاسخ زیر می‌رسیم:

   [-\frac{1}{\sqrt{2}} \arcsin\left(\frac{u}{2}\right) + C]

 * بازگشت به متغیر اولیه: با جایگذاری مجدد u = 1 - x^2، پاسخ نهایی به صورت زیر خواهد بود:

   [\int x\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)^{1/2} dx = -\frac{1}{\sqrt{2}} \arcsin\left(\frac{1-x^2}{2}\right) + C]

انتگرال دوم:

[\int \frac{\tan^{-1} e^x}{e^x} dx]

حل:

 * انتگرال به اجزای: برای حل این انتگرال، از روش انتگرال به اجزای استفاده می‌کنیم.

   * u = tan^(-1) e^x

   * dv = e^(-x) dx

 * حل انتگرال به اجزای: با اعمال فرمول انتگرال به اجزای و ساده‌سازی، به انتگرالی جدید می‌رسیم.

 * تعویض متغیر: با تعویض متغیر t = e^x و تجزیه کسر به کسرهای جزئی، انتگرال را ساده‌تر می‌کنیم.

 * حل انتگرال کسرهای جزئی: با حل انتگرال هر یک از کسرهای جزئی، به پاسخ نهایی می‌رسیم.

 * بازگشت به متغیر اولیه: با جایگذاری مجدد t = e^x، پاسخ نهایی به صورت زیر خواهد بود:

   [\int \frac{\tan^{-1} e^x}{e^x} dx = -\tan^{-1} e^x + x - \frac{1}{2} \ln(1+e^{2x}) + C]

انتگرال سوم:

[\int \frac{dx}{e^x - fe^x + f}]

حل:

 * فاکتورگیری: با فاکتورگیری از مخرج کسر، عبارت را ساده‌تر می‌کنیم.

 * تجزیه به کسرهای جزئی: با تجزیه کسر به کسرهای جزئی، انتگرال را به دو انتگرال ساده‌تر تقسیم می‌کنیم.

 * حل انتگرال کسرهای جزئی: با حل هر یک از انتگرال‌های جزئی، به پاسخ نهایی می‌رسیم.

 * ساده‌سازی: با ساده‌سازی پاسخ نهایی، به عبارت زیر می‌رسیم:

   [\int \frac{dx}{e^x - fe^x + f} = \frac{1}{f-1} \ln\left|\frac{e^x - f}{1-e^x}\right| + C]

توجه:

 * C: در همه انتگرال‌ها، C یک ثابت دلخواه است.

 * جزئیات بیشتر: برای دیدن جزئیات کامل محاسبات هر یک از انتگرال‌ها، می‌توانید از نرم‌افزارهای محاسبات نمادین مانند Mathematica یا Maple استفاده کنید.

خدمت شما  کاربر عزیز

به پیوست روش حل ارسال شد

درود بر شما

پاسخ هر سه سوال رو براتون نوشتم، دو تا  از پاسخ‌هارو روی تخته هم نوشتم؛ 

سوال دانشگاه نوشیروانی، از همه سخت‌تر بود.

سوال دانشگاه صنعتی سیرجان، خیلی جالب بود چون حاوی روش‌های تغییر متغیر، و  جزء به جزء و همچنین انتگرال‌های کسری بود.

سوال دانشگاه آزاد تهران جنوب هم یه مقدار قلق داشت.

موفق باشید