سه سوال سخت انتگرال دانشگاه؛ خیلی فوری
این سه تا انتگرال، جزء تمارین و سوالات امتحانی دانشگاه‌های صنعتی نوشیروانی بابل، صنعتی سیرجان، و آزاد تهران جنوب بودند. کسی میتونه با توضیح شفاف حلشون کنه؟
تشکر
٥ پاسخ
درود بر شما
پاسخ هر سه سوال رو براتون نوشتم، دو تا از پاسخ‌هارو روی تخته هم نوشتم؛
سوال دانشگاه نوشیروانی، از همه سخت‌تر بود.
سوال دانشگاه صنعتی سیرجان، خیلی جالب بود چون حاوی روش‌های تغییر متغیر، و جزء به جزء و همچنین انتگرال‌های کسری بود.
سوال دانشگاه آزاد تهران جنوب هم یه مقدار قلق داشت.
موفق باشید
برای حل این سه انتگرال، می‌توانیم به هر کدام به صورت جداگانه بپردازیم.
### 1. انتگرال اول:
\[
\int x \left( \frac{1 - x^2}{1 + x^2} \right)^{\frac{1}{2}} dx
\]
برای حل این انتگرال، می‌توانیم از روش جایگزینی و تبدیل به فرمول‌های تدوینی استفاده کنیم. با تعریف یک متغیر جدید مانند \( x = \tan(t) \) می‌توانیم انتگرال را به صورت ساده‌تری بازنویسی کنیم.
### 2. انتگرال دوم:
\[
\int \frac{\tan^{-1}(e^n)}{en} \, dn
\]
این انتگرال ممکن است به روش انتگرال‌گیری به کمک جزییات خاصی از توابع خاص آسان‌تر باشد. همچنین می‌توان از روش‌های عددی یا جدولی برای محاسبه آن استفاده کرد، زیرا به صورت مستقیم قابل انتگرال‌گیری نیست.
### 3. انتگرال سوم:
\[
\int \frac{dx}{e^x - 4e^{-x} + 4}
\]
برای حل این انتگرال، ابتدا می‌توان صورت را ساده کرد. تبدیل به متغیر \( u = e^x \) نیز می‌تواند روش خوبی باشد؛ به طوری که در نهایت فرمول‌هایی از توابع لوژاریتمی یا جزییاتی مثل کسرهای جزئی به دست آید.
### نتیجه‌گیری
هر کدام از انتگرال‌ها دارای تکنیک‌های خاصی برای حل هستند که ممکن است نیاز به روش‌های جایگزینی متفاوت یا حتی به کارگیری ابزارهای عددی داشته باشند. اگر نیاز به توضیحات بیشتر در مورد هر کدام دارید، بفرمایید.
بله، با کمال میل. برای حل این سه انتگرال، به ترتیب هر یک را به طور مفصل توضیح می‌دهم:
انتگرال اول:
[\int x\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)^{1/2} dx]
حل:
* تعویض متغیر: برای ساده‌سازی عبارت، از تعویض متغیر زیر استفاده می‌کنیم:
* u = 1 - x^2
* du = -2x dx
* جایگذاری در انتگرال: با جایگذاری u و du در انتگرال، خواهیم داشت:
[-\frac{1}{2} \int \left(\frac{u}{2-u}\right)^{1/2} du]
* ساده‌سازی: با فاکتورگیری از 2 در مخرج کسر زیر رادیکال، داریم:
[-\frac{1}{2\sqrt{2}} \int \left(\frac{u}{1-\frac{u}{2}}\right)^{1/2} du]
* تعویض متغیر مجدد: برای حل این انتگرال، از تعویض متغیر دیگری استفاده می‌کنیم:
* v = u/(1-u/2)
* حل انتگرال: با انجام این تعویض و حل انتگرال، به پاسخ زیر می‌رسیم:
[-\frac{1}{\sqrt{2}} \arcsin\left(\frac{u}{2}\right) + C]
* بازگشت به متغیر اولیه: با جایگذاری مجدد u = 1 - x^2، پاسخ نهایی به صورت زیر خواهد بود:
[\int x\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)^{1/2} dx = -\frac{1}{\sqrt{2}} \arcsin\left(\frac{1-x^2}{2}\right) + C]
انتگرال دوم:
[\int \frac{\tan^{-1} e^x}{e^x} dx]
حل:
* انتگرال به اجزای: برای حل این انتگرال، از روش انتگرال به اجزای استفاده می‌کنیم.
* u = tan^(-1) e^x
* dv = e^(-x) dx
* حل انتگرال به اجزای: با اعمال فرمول انتگرال به اجزای و ساده‌سازی، به انتگرالی جدید می‌رسیم.
* تعویض متغیر: با تعویض متغیر t = e^x و تجزیه کسر به کسرهای جزئی، انتگرال را ساده‌تر می‌کنیم.
* حل انتگرال کسرهای جزئی: با حل انتگرال هر یک از کسرهای جزئی، به پاسخ نهایی می‌رسیم.
* بازگشت به متغیر اولیه: با جایگذاری مجدد t = e^x، پاسخ نهایی به صورت زیر خواهد بود:
[\int \frac{\tan^{-1} e^x}{e^x} dx = -\tan^{-1} e^x + x - \frac{1}{2} \ln(1+e^{2x}) + C]
انتگرال سوم:
[\int \frac{dx}{e^x - fe^x + f}]
حل:
* فاکتورگیری: با فاکتورگیری از مخرج کسر، عبارت را ساده‌تر می‌کنیم.
* تجزیه به کسرهای جزئی: با تجزیه کسر به کسرهای جزئی، انتگرال را به دو انتگرال ساده‌تر تقسیم می‌کنیم.
* حل انتگرال کسرهای جزئی: با حل هر یک از انتگرال‌های جزئی، به پاسخ نهایی می‌رسیم.
* ساده‌سازی: با ساده‌سازی پاسخ نهایی، به عبارت زیر می‌رسیم:
[\int \frac{dx}{e^x - fe^x + f} = \frac{1}{f-1} \ln\left|\frac{e^x - f}{1-e^x}\right| + C]
توجه:
* C: در همه انتگرال‌ها، C یک ثابت دلخواه است.
* جزئیات بیشتر: برای دیدن جزئیات کامل محاسبات هر یک از انتگرال‌ها، می‌توانید از نرم‌افزارهای محاسبات نمادین مانند Mathematica یا Maple استفاده کنید.
پاسخ شما
