دو دونده هم زمان از یک نقطه ثابت، روي یک مسیر دایره اي در خلاف جهت همـدیگر، شـروع بـه دویـدن میکنند....

چون‌خلاف جهت همدیگر می دوند اگر برای یازدهمین بار همدیگر راببینند و نسبت ۸ به ۳باشد یعنی  دونده ی سریع ۸ دور از ۱۰ دور را رفته است که می شود ۸۰ درصد مسیر را رفته است .

قدم 1: سرعت نسبی

چون دونده‌ها در جهت مخالف حرکت می‌کنند، سرعت نسبی آن‌ها برابر است با:

vrelative=v1+v2=8x+3x=11xv_{\text{relative}} = v_1 + v_2 = 8x + 3x = 11xvrelative​=v1​+v2​=8x+3x=11x

قدم 2: زمان عبور از کنار هم

برای هر بار عبور، آن‌ها باید مسافت برابر با یک محیط دایره CCC را نسبت به هم طی کنند. زمان لازم برای هر بار عبور برابر است با:

tعبور=Cvrelative=C11xt_{\text{عبور}} = \frac{C}{v_{\text{relative}}} = \frac{C}{11x}tعبور​=vrelative​C​=11xC​

قدم 3: یازدهمین بار عبور

برای یازدهمین عبور، دونده‌ها باید مسافت 11C11C11C را نسبت به هم طی کرده باشند. زمان کل برای این اتفاق برابر است با:

tکل=11⋅tعبور=11⋅C11x=Cxt_{\text{کل}} = 11 \cdot t_{\text{عبور}} = 11 \cdot \frac{C}{11x} = \frac{C}{x}tکل​=11⋅tعبور​=11⋅11xC​=xC​

قدم 4: مسافت طی‌شده توسط دونده سریع‌تر

در این مدت زمان (tکل=Cxt_{\text{کل}} = \frac{C}{x}tکل​=xC​)، مسافت طی‌شده توسط دونده سریع‌تر برابر است با:

dسریع‌تر=v1⋅tکل=8x⋅Cx=8Cd_{\text{سریع‌تر}} = v_1 \cdot t_{\text{کل}} = 8x \cdot \frac{C}{x} = 8Cdسریع‌تر​=v1​⋅tکل​=8x⋅xC​=8C

قدم 5: نسبت مسافت طی‌شده به یک دور کامل

چون هر دور کامل برابر با CCC است، نسبت مسافت طی‌شده به یک دور کامل برابر است با:

نسبت=dسریع‌ترC=8CC=8\text{نسبت} = \frac{d_{\text{سریع‌تر}}}{C} = \frac{8C}{C} = 8نسبت=Cdسریع‌تر​​=C8C​=8

نتیجه نهایی

دونده سریع‌تر تا یازدهمین عبور از کنار هم، 8 دور کامل از مسیر دایره‌ای را پیموده است.

برای حل این مسئله ابتدا باید مشخص کنیم که چند بار دونده‌ها از کنار یکدیگر عبور می‌کنند و در این مدت هر کدام چند دور می‌زنند.

گام 1: تعریف نسبت سرعت‌ها

نسبت سرعت دونده سریع‌تر به کندتر برابر 8:38:3 است. بنابراین، سرعت دونده سریع‌تر v1=8kv_1 = 8k و سرعت دونده کندتر v2=3kv_2 = 3k است، که kk یک ثابت است.

گام 2: اختلاف سرعت

اختلاف سرعت این دو دونده برابر است با:

vاختلاف=v1+v2=8k+3k=11kv_{\text{اختلاف}} = v_1 + v_2 = 8k + 3k = 11k

زیرا آن‌ها در خلاف جهت یکدیگر حرکت می‌کنند.

گام 3: زمان لازم برای عبور

زمانی که دونده‌ها برای nn-امین بار از کنار یکدیگر عبور می‌کنند، اختلاف مسیر پیموده شده بین آن‌ها باید برابر nn-بار محیط دایره باشد. به عبارتی:

Δx=n⋅L\Delta x = n \cdot L

که در آن LL محیط دایره است.

گام 4: مسیر پیموده شده توسط دونده سریع‌تر

مسافت پیموده شده توسط دونده سریع‌تر تا لحظه عبور یازدهم از کنار هم برابر است با:

x1=v1⋅tx_1 = v_1 \cdot t

و tt زمان مورد نیاز است. با استفاده از اختلاف سرعت داریم:

t=Δxvاختلاف=11L11k=Lkt = \frac{\Delta x}{v_{\text{اختلاف}}} = \frac{11L}{11k} = \frac{L}{k}

بنابراین مسافت پیموده شده توسط دونده سریع‌تر برابر است با:

x1=v1⋅t=8k⋅Lk=8Lx_1 = v_1 \cdot t = 8k \cdot \frac{L}{k} = 8L

گام 5: نسبت مسافت به محیط دایره

دونده سریع‌تر مسافتی برابر با 8L8L طی کرده است. نسبت این مسافت به محیط دایره برابر است با:

نسبت=x1L=8LL=8\text{نسبت} = \frac{x_1}{L} = \frac{8L}{L} = 8

نتیجه‌گیری:

دونده سریع‌تر تا یازدهمین عبور از کنار هم، 8 دور کامل از مسیر دایره‌ای پیموده است.

نسبت ۸ به ۳ من اینطور در نظر میگیرم مثلا  که  دونده تندتر ۸ دور در دقیقه میزنه و دونده کندتر ۳ دور ، نسبت حفظ شده حالا توی ۱ دقیقه  این دو دونده چندبار از کنار هم میگذرند؟  ۱۱ بار ؟؟ نه!  چون این در صورتیه که انگار دونده تندتر وایسه و کندتر سه بار از کنار بگذره بعد این وایسه و دونده تندتر هشت بار از کنارش بگذره، ولی در طی یک دقیقه وقتی این دو شروع به حرکت میکنن این فقط دونده تندرتر هست که از کنار دونده کندتر میگذره. القصه که این تنها چیزی بود که به ذهن ضعیف من رسید و من توان حلشو ندارم، خسته نباشید!

جواب سوال خدمت شما