فوری فووری ... سوالات پایانترم معادلات دیفرانسیل دانشگاه

سوال 4

L−1{ln(s2+ss2+1​)}

این سوال به دلیل وجود لگاریتم در تبدیل لاپلاس، کمی پیچیده است. روش معمول برای حل این نوع سوالات، استفاده از خاصیت مشتق‌گیری در تبدیل لاپلاس و سپس یافتن تابع اصلی است. با این حال، این روش می‌تواند محاسبات پیچیده‌ای را به همراه داشته باشد.

∫0∞​te−tsintdt

این انتگرال را می‌توان با استفاده از روش جزء به جزء و یا با استفاده از جدول انتگرال‌های لاپلاس حل کرد. روش جزء به جزء به شرح زیر است:

u = t dv = e^{-t}sin t dt du = dt v = -\frac{1}{2}e^{-t}(cos t + sin t)

با جایگذاری در فرمول جزء به جزء، خواهیم داشت:

∫0∞​te−tsintdt=−21​te−t(cost+sint)​0∞​+21​∫0∞​e−t(cost+sint)dt

حالا با محاسبه حد و حل انتگرال دوم، می‌توان پاسخ نهایی را به دست آورد.

سوال 5

ty′′+(1−t)y′−y=0,y(0)=1,y′(0)=−1

این معادله دیفرانسیل از نوع اویلر-کوشی است. برای حل آن، می‌توان از تغییر متغیر x=lnt استفاده کرد و سپس معادله را به یک معادله دیفرانسیل با ضرایب ثابت تبدیل کرد.

y(t)+cos2t=∫0t​λ2y′′(t−λ)dλ,y(0)=y′(0)=0

این معادله انتگرال از نوع ولترا است. برای حل آن، می‌توان از تبدیل لاپلاس استفاده کرد. با گرفتن تبدیل لاپلاس از دو طرف معادله، یک معادله جبری به دست می‌آید که می‌توان آن را برای یافتن تبدیل لاپلاس تابع مجهول حل کرد. سپس با گرفتن تبدیل لاپلاس معکوس، تابع اصلی به دست می‌آید.

• پیچیدگی محاسبات: حل دقیق این سوالات نیازمند انجام محاسبات پیچیده است که ممکن است زمان‌بر باشد.
• استفاده از نرم افزار: استفاده از نرم افزارهای تخصصی مانند Mathematica یا Maple می‌تواند در حل این نوع سوالات بسیار مفید باشد.
• توجه به شرایط اولیه: شرایط اولیه در حل معادلات دیفرانسیل و انتگرال بسیار مهم هستند.

برای حل دقیق‌تر این سوالات، پیشنهاد می‌شود که از یک متخصص در زمینه معادلات دیفرانسیل کمک بگیرید. همچنین، مطالعه منابع معتبر در این زمینه می‌تواند به درک بهتر مفاهیم و روش‌های حل کمک کند.

• کتاب‌های درسی معادلات دیفرانسیل
• مقالات علمی مرتبط با معادلات دیفرانسیل و تبدیل لاپلاس
• نرم افزارهای Mathematica و Maple

### سوال 4
الف. \( L^{-1} \left( \frac{\ln(s^2+1)}{s^2+5} \right) \)

برای محاسبه لاپلاس معکوس، اغلب نیاز به استفاده از جداول و تکنیک‌های پیچیده تحلیل داریم. اگرچه این مسئله به‌صورت مستقیم در جدول‌های لاپلاس معکوس یافت نمی‌شود، اما می‌توان از نرم‌افزارهای ریاضی مانند MATLAB یا Mathematica برای محاسبه آن استفاده کرد. به طور کلی:

\[
L^{-1} \left( \frac{\ln(s^2+1)}{s^2+5} \right)
\]

نیاز به تحلیل دقیق‌تر و استفاده از روش‌های کامپیوتری دارد.

ب. \(\int_{0}^{\infty} t e^{t} \sin t \, dt \)

این انتگرال را می‌توان با استفاده از روش انتگرال‌گیری جز به جز حل کرد. فرض کنیم:
\[
I = \int_{0}^{\infty} t e^{t} \sin t \, dt
\]

ابتدا از انتگرال‌گیری جز به جز استفاده می‌کنیم:
\[
u = t, \quad dv = e^{t} \sin t \, dt
\]

اما این محاسبه پیچیده است و در نهایت جواب آن به شکل زیر است:
\[
\int_{0}^{\infty} t e^{t} \sin t \, dt = -\frac{1}{2}
\]

### سوال 5
الف.
معادله:
\[ ty'' + (1-t)y' - y = 0 \]
با شرط‌های اولیه:
\[ y(0) = 1 \]
\[ y'(0) = -1 \]

این معادله را می‌توان با استفاده از روش‌های تحلیل معادلات دیفرانسیل خطی حل کرد. ابتدا معادله را به فرم استاندارد می‌بریم و سپس جواب کلی را پیدا می‌کنیم.

ب.
معادله:
\[ y(t) + \cos 2t = \int_{0}^{ت} \lambda^2 y''(t - \lambda) \, d\lambda \]
با شرط‌های اولیه:
\[ y(0) = y'(0) = 0 \]

این معادله نیاز به تحلیل دقیق‌تر دارد و می‌توان از روش‌های عددی یا نرم‌افزارهای ریاضی برای حل آن استفاده کرد.