اعدد طبیعی کمتر از 10,000 وجود دارد بطوریکه مجموع ارقام آن برابر 5 باشد

سلام، 

با این کد دو خطی پایتون می‌تونی جوابش رو پیدا کنی:
 

n = {i for i in range(1,10001) if sum(map(int, tuple(str(i))))== 5}
print(len(n),'\n',n)#مجموعه اعداد و تعدادش رو خروجی می‌ده

یه لیست از  مجموعه اعداد ۰ تا ۱۰۰۰۰ می‌سازه،

روی هر کدوم از اون اعضا این کارها رو انجام می‌ده،

     رقم‌های عدد رو توی یه تاپل می‌گذاره و همه رو از رشتهٔ متنی  تبدیل به عدد صحیح می‌کنه. 

     مجموع رقم‌ها رو حساب می‌کنه

   اگه برابر ۵ بود می‌ذاره توی لیست اصلی

توی سطر دوم هم طول لیست اصلی رو توی یه سطر و مجموعه‌ اعداد رو توی سطر دیگه چاپ می‌کنه.

برای حل این مسئله، باید تعداد اعداد طبیعی که مجموع ارقام آن‌ها برابر با 5 باشد و از 10,000 کمتر باشند را پیدا کنیم. این اعداد می‌توانند چهار رقمی یا کم‌تر باشند.

1. بررسی اعداد چهار رقمی

یک عدد چهار رقمی به شکل abcdabcd است که در آن a,b,c,da, b, c, d ارقام عدد هستند و باید مجموع این ارقام برابر با 5 باشد، یعنی:

a+b+c+d=5a + b + c + d = 5

در اینجا aa می‌تواند بین 1 و 9 باشد (چون عدد چهار رقمی است)، و b,c,db, c, d می‌توانند بین 0 تا 9 باشند. بنابراین باید تعداد راه‌هایی را که مجموع این چهار عدد برابر 5 می‌شود، پیدا کنیم.

برای حل این مشکل، باید تعداد تمام راه‌های ممکن برای نوشتن معادله a+b+c+d=5a + b + c + d = 5 با شرایط a≥1a \geq 1 و b,c,d≥0b, c, d \geq 0 را محاسبه کنیم.

برای ساده کردن کار، ابتدا فرض می‌کنیم که a′=a−1a' = a - 1، به طوری که a′≥0a' \geq 0. بنابراین معادله تبدیل می‌شود به:

a′+b+c+d=4a' + b + c + d = 4

در این حالت a′,b,c,da', b, c, d همه غیرمنفی هستند و حالا می‌خواهیم تعداد حل‌های غیرمنفی معادله a′+b+c+d=4a' + b + c + d = 4 را پیدا کنیم. این یک مسئله از نوع تقسیم اعداد به مجموع است که تعداد حل‌های آن با فرمول ترکیبی محاسبه می‌شود:

تعداد راه‌ها=(4+4−14−1)=(73)\text{تعداد راه‌ها} = \binom{4 + 4 - 1}{4 - 1} = \binom{7}{3}

محاسبه می‌کنیم:

(73)=7×6×53×2×1=35\binom{7}{3} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35

بنابراین، تعداد اعداد چهار رقمی که مجموع ارقام آن‌ها برابر با 5 باشد، 35 است.

2. بررسی اعداد سه رقمی

یک عدد سه رقمی به شکل abcabc است که در آن a,b,ca, b, c ارقام عدد هستند و باید مجموع این ارقام برابر با 5 باشد، یعنی:

a+b+c=5a + b + c = 5

در اینجا aa باید حداقل 1 باشد (چون عدد سه رقمی است) و b,cb, c می‌توانند بین 0 تا 9 باشند. بنابراین باید تعداد راه‌هایی را که مجموع این سه عدد برابر 5 می‌شود، پیدا کنیم.

برای ساده کردن کار، ابتدا فرض می‌کنیم که a′=a−1a' = a - 1، به طوری که a′≥0a' \geq 0. بنابراین معادله تبدیل می‌شود به:

a′+b+c=4a' + b + c = 4

که دوباره یک مسئله تقسیم اعداد به مجموع است. تعداد حل‌های این معادله به شکل زیر محاسبه می‌شود:

تعداد راه‌ها=(4+3−13−1)=(62)\text{تعداد راه‌ها} = \binom{4 + 3 - 1}{3 - 1} = \binom{6}{2}

محاسبه می‌کنیم:

(62)=6×52×1=15\binom{6}{2} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15

بنابراین، تعداد اعداد سه رقمی که مجموع ارقام آن‌ها برابر با 5 باشد، 15 است.

3. بررسی اعداد دو رقمی

یک عدد دو رقمی به شکل abab است که در آن a,ba, b ارقام عدد هستند و باید مجموع این ارقام برابر با 5 باشد، یعنی:

a+b=5a + b = 5

در اینجا aa باید حداقل 1 باشد (چون عدد دو رقمی است) و bb می‌تواند بین 0 تا 9 باشد. تعداد راه‌های ممکن برای حل معادله a+b=5a + b = 5 به این شکل است:

تعداد راه‌ها=5\text{تعداد راه‌ها} = 5

که عبارت است از: (1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(5,0)(1,4), (2,3), (3,2), (4,1), (5,0).

بنابراین، تعداد اعداد دو رقمی که مجموع ارقام آن‌ها برابر با 5 باشد، 5 است.

4. بررسی اعداد یک رقمی

یک عدد یک رقمی تنها در صورتی ممکن است که برابر با 5 باشد.

بنابراین، تعداد اعداد یک رقمی که مجموع ارقام آن‌ها برابر با 5 باشد، 1 است.

5. جمع‌بندی

تعداد کل اعداد طبیعی کمتر از 10,000 که مجموع ارقام آن‌ها برابر با 5 باشد، برابر است با جمع تعداد اعداد یک رقمی، دو رقمی، سه رقمی و چهار رقمی:

1+5+15+35=561 + 5 + 15 + 35 = 56

بنابراین، تعداد اعداد طبیعی کمتر از 10,000 که مجموع ارقام آن‌ها برابر با 5 باشد، 56 است.

اعداد کم‌تر از ۱۰۰۰۰، حداکثر ۴ رقمی هستند.
اگر فرض کنیم ارقام عدد به فرم abcd باشند، اگر فرض کنیم که a بتواند برابر ۰ باشد، اعداد کم‌تر از ۴ رقم نیز پوشش داده می‌شوند، پس جواب سوال برابر با تعداد حالات ممکن برای a,b,c,d است به شرطی که:
تمام اعداد نامنفی (بزرگ‌تر مساوی ۰) باشند.
جمع این ارقام (a+b+c+d) برابر ۵ باشد.

حال فرض کنیم به هر عدد یک واحد اضافه می‌کنیم تا تمام این اعداد بزرگ‌تر مساوی ۱ باشند، در این صورت جمع‌شان نیز باید برابر ۵+۴=۹ شود.

حالا برای محاسبه‌ی تعداد حالات‌های مختلفشان، فرض کنید که روی یک خط ۹ گوی با فاصله داریم. (۸ فاصله میانشان وجود دارد)
اگر  ۳ تا از این ۸ جای خالی را انتخاب کنیم و گوی ها را نسب به این ۳ تا جا جدا کنیم، به ۴ عدد مختلف بزرگ‌تر مساوی ۱ می‌رسیم که جمعشان برابر ۹ است. بنابراین تعداد حالت‌ها متناظر است با تعداد حالت‌های انتخاب ۳ جایگاه از ۸ جایگاه:

C(8,3)=8!/3!*5! -> javab=56

بنابراین جواب مسئله برابر ۵۶ است. برای مطالعه‌ی بیش‌تر راجع به این ایده و روش حل می‌تونید از این لینک استفاده کنید.
 

برای یافتن تعداد اعداد طبیعی کمتر از 10,000 که مجموع ارقام آن‌ها برابر با 5 باشد، می‌توانیم از روش ترکیبی استفاده کنیم.

یک عدد طبیعی می‌تواند حداکثر 4 رقم داشته باشد. بنابراین، ما به دنبال توزیع 5 واحد (مجموع ارقام) در 4 رقم (جایگاه‌های عدد) هستیم. برای این کار می‌توانیم از مفهوم "توزیع غیرمنفی" استفاده کنیم.

ما می‌خواهیم تعداد راه‌های توزیع 5 واحد در 4 جایگاه را بیابیم. این مسئله معادل است با حل معادله زیر:

 x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = 5 

که در آن  xᵢ  تعداد واحدهایی است که در جایگاه  i  قرار می‌گیرد و  xᵢ  باید یک عدد غیرمنفی باشد.

برای حل این معادله، از فرمول ترکیبی استفاده می‌کنیم:

تعداد راه‌ها = \binomn+k-1k-1

که در آن  n  مجموع ارقام (در اینجا 5) و  k  تعداد جایگاه‌ها (در اینجا 4) است. بنابراین:

تعداد راه‌ها = \binom5+4-14-1 = \binom83

حساب می‌کنیم:

\binom83 = 8! / 3!(8-3)! = 8 × 7 × 6 / 3 × 2 × 1 = 56

بنابراین، تعداد اعداد طبیعی کمتر از 10,000 که مجموع ارقام آن‌ها برابر با 5 باشد، برابر با 56 است.

برای یافتن تعداد اعداد طبیعی کمتر از 10,000 که مجموع ارقام آن‌ها برابر با 5 باشد، باید همه ترکیب‌های ممکن اعداد چهار رقمی (و کمتر) را که مجموع ارقامشان 5 می‌شود، بررسی کنیم.

ما چهار رقم داریم: هزارگان، صدگان، دهگان، و یکان. فرض کنیم هر رقم x, y, z, w باشد.

**قاعده کلی:** 
$$
x + y + z + w = 5
$$
این معادله را برای اعداد یک رقمی، دو رقمی، سه رقمی و چهار رقمی بررسی می‌کنیم.

### برای اعداد یک رقمی:
فقط 5 عدد داریم: 5

### برای اعداد دو رقمی:
\(x + y = 5\)، به طوری که \(x, y\) می‌توانند از 0 تا 5 باشند:
1. 50
2. 41
3. 32
4. 23
5. 14

### برای اعداد سه رقمی:
\(x + y + z = 5\):
1. 500, 410, 320, 230, 140
2. 401, 311, 221, 131, 041

### برای اعداد چهار رقمی:
از حل معادله زیر استفاده می‌کنیم:
$$
x + y + z + w = 5
$$
این معادله را می‌توان با استفاده از تکنیک‌های ترکیبی حل کرد:

### محاسبه ترکیب‌ها:
برای هر دسته از اعداد (یک رقمی، دو رقمی، سه رقمی و چهار رقمی) مجموع تمام ترکیب‌ها را محاسبه می‌کنیم:
- اعداد یک رقمی: 1 عدد (5)
- اعداد دو رقمی: \(C(6, 1)\)
- اعداد سه رقمی: \(C(7, 2)\)
- اعداد چهار رقمی: \(C(8, 3)\)

### کل ترکیب‌ها:
با ترکیب و جمع ترکیب‌های ذکر شده، تعداد دقیق این اعداد محاسبه می‌شود.

بنابراین، تعداد اعداد طبیعی کمتر از 10,000 که مجموع ارقام آن‌ها برابر با 5 باشد، برابر با 56 است.