چند نفر از آنها دروغگو هستند؟

۶ نفر دروغگو هستند.

ابتدا باید توجه کنیم که کل یک دسته یا همگی دروغگو هستند یا همگی راستگو، یعنی وقتی n نفر آدم همزمان می‌گویند که n نفر از کل ما دروغگو هستند، در کل یا این گزاره صحیح است، که کل این n نفر راستگو هستند و دروغگوها متعلق به سایر افراد جمع هستند و n نفرند، یا این گزاره غلط است که تمام این n نفر دروغ گفته اند.

با این تفاسیر، ۶ نفر آخر راستگو هستند، و ۶ نفر اولی دروغگو هستند. چنین چینشی منجر به این می‌شود که دو دسته ی اول همگی دروغ گفته باشند و دسته‌ی آخر همگی راست گفته باشند وشروط مسئله سازگار بماند.

برای حل این معما، بیایید ادعاهای هر گروه را بررسی کنیم و ببینیم کدام یک ممکن است درست باشد.

1. دو نفر گفتند «دقیقاً دو نفر از ما دوازده نفر دروغگو هستند»:

   • اگر این دو نفر راستگو باشند، پس باید فقط دو دروغگو وجود داشته باشد. اما این به این معنی است که بقیه (۱۰ نفر) باید راستگو باشند که با ادعای آنها تناقض دارد. بنابراین، این دو نفر نمی‌توانند راستگو باشند و در نتیجه دروغگو هستند.

2. چهار نفر گفتند «دقیقاً چهار نفر از ما دوازده نفر دروغگو هستند»:

   • اگر این چهار نفر راستگو باشند، پس باید چهار دروغگو وجود داشته باشد. این با ادعای دو نفر قبلی که دروغگو بودند، تناقض ندارد. بنابراین، این چهار نفر می‌توانند راستگو باشند.

3. شش نفر گفتند «دقیقاً شش نفر از ما دوازده نفر دروغگو هستند»:

   • اگر این شش نفر راستگو باشند، پس باید شش دروغگو وجود داشته باشد. اما این به این معنی است که چهار نفری که قبلاً گفتند «دقیقاً چهار نفر دروغگو هستند» نمی‌توانند راستگو باشند، زیرا تعداد دروغگوها بیشتر از آن چیزی است که آنها ادعا کردند. بنابراین، این شش نفر نمی‌توانند راستگو باشند.

با توجه به تحلیل بالا:

• دو نفر اول دروغگو هستند.

• چهار نفر دوم راستگو هستند.

• شش نفر سوم دروغگو هستند.

در نتیجه، تعداد کل دروغگوها برابر است با 2 + 6 = 8.

پس تعداد دروغگوها ۸ نفر است.

برای حل این مسئله، باید تعداد دروغگوها را مشخص کنیم. ابتدا فرض می‌کنیم تعداد دروغگوها xx باشد و بررسی می‌کنیم که چه عددی برای xx سازگار است.

تحلیل:

• گروه اول: دو نفر گفته‌اند «دقیقاً دو نفر دروغگو هستند». اگر تعداد دروغگوها دقیقاً ۲ باشد، این دو نفر راستگو هستند و بقیه (۱۰ نفر) باید دروغگو باشند. اما اگر تعداد دروغگوها x≠2x \neq 2 باشد، این دو نفر دروغگو هستند.
• گروه دوم: چهار نفر گفته‌اند «دقیقاً چهار نفر دروغگو هستند». اگر تعداد دروغگوها دقیقاً ۴ باشد، این چهار نفر راستگو هستند و بقیه (۸ نفر) باید دروغگو باشند. اما اگر تعداد دروغگوها x≠4x \neq 4 باشد، این چهار نفر دروغگو هستند.
• گروه سوم: شش نفر گفته‌اند «دقیقاً شش نفر دروغگو هستند». اگر تعداد دروغگوها دقیقاً ۶ باشد، این شش نفر راستگو هستند و بقیه (۶ نفر دیگر) دروغگو هستند. اما اگر تعداد دروغگوها x≠6x \neq 6 باشد، این شش نفر دروغگو هستند.

شرط:

بررسی حالات:

حالا تعداد دروغگوها xx را یکی‌یکی بررسی می‌کنیم:

1. فرض کنید x=2x = 2:
   • دو نفر راستگو هستند (و می‌گویند تعداد دروغگوها ۲ است).
   • اما گروه دوم (چهار نفر) و گروه سوم (شش نفر) نمی‌توانند همگی دروغگو باشند، زیرا گفته‌هایشان نقض می‌شود. این فرض رد می‌شود.
2. فرض کنید x=4x = 4:
   • چهار نفر راستگو هستند (و می‌گویند تعداد دروغگوها ۴ است).
   • گروه اول (دو نفر) و گروه سوم (شش نفر) باید دروغگو باشند، و گفته‌هایشان نقض نمی‌شود. این فرض ممکن است درست باشد.
3. فرض کنید x=6x = 6:
   • شش نفر راستگو هستند (و می‌گویند تعداد دروغگوها ۶ است).
   • گروه اول (دو نفر) و گروه دوم (چهار نفر) دروغگو هستند.
   • این فرض نیز ممکن است درست باشد.

نتیجه:

بر اساس این تحلیل، دو حالت x=4x = 4 و x=6x = 6 می‌توانند معتبر باشند. برای انتخاب بین این دو:

• اگر دقیقاً ۶ نفر دروغگو باشند، باید گفته‌های هر ۶ راستگو درست باشد.
• اما چون گفته شده تنها یک حالت صحیح است، و x=4x = 4 به نظر محتمل‌تر است.

بنابراین، تعداد دروغگوها ۴ نفر است.

هر کدام از ساکنان جزیره اي یا راستگو هستند یا دروغگو (راستگوها همیشه راست میگوینـد و دروغگوهـا 

همیشه دروغ می گویند). یک روز دوازده نفر از ساکنان جزیره جمع شدند . دو تا از آنها گفتند «دقیقاً دو نفـر 

از ما دوازده نفر دروغگو هستند »، چهار تا از آنها گفتند «دقیقاً چهار نفر از ما دوازده نفر دروغگو هـستند » و 

شش تا از آنها گفتند «دقیقاً شش نفر از ما دوازده نفر دروغگو هستند ». 

 ادعاهای ساکنان جزیره

1. دو نفر گفتند: «دقیقاً دو نفر از ما دوازده نفر دروغگو هستند.»

2. چهار نفر گفتند: «دقیقاً چهار نفر از ما دوازده نفر دروغگو هستند.»

3. شش نفر گفتند: «دقیقاً شش نفر از ما دوازده نفر دروغگو هستند.»

تحلیل ادعاها:

 فرض 1: اگر ادعای دو نفر درست باشد

- این بدان معناست که ۲ دروغگو وجود دارد. اما اگر ۲ دروغگو وجود داشته باشد، ادعای ۴ نفر و ۶ نفر نیز باید نادرست باشد. بنابراین، این فرض نمی‌تواند درست باشد زیرا حداقل یکی از آن‌ها باید راستگو باشد.

 فرض 2: اگر ادعای چهار نفر درست باشد

- این بدان معناست که ۴ دروغگو وجود دارد. در این صورت، ادعای ۲ نفر نادرست است (زیرا تعداد دروغگوها بیشتر از ۲ است) و ادعای ۶ نفر نیز نادرست است (زیرا تعداد دروغگوها کمتر از ۶ است). بنابراین، این فرض ممکن است درست باشد.

 فرض 3: اگر ادعای شش نفر درست باشد

- این بدان معناست که ۶ دروغگو وجود دارد. در این حالت، ادعای ۲ نفر و ادعای ۴ نفر هر دو نادرست خواهند بود. اما اگر حداقل یکی راستگو باشد، این فرض نمی‌تواند درست باشد زیرا در این صورت باید تعداد راستگوها بیشتر از صفر باشد و با توجه به تعداد دروغگوها، حداقل یکی از آن‌ها باید راستگو باشد.

 نتیجه‌گیری:

با توجه به تحلیل‌های بالا، تنها فرض ممکن که با شرایط مسئله سازگار است، فرض دوم (یعنی ادعای چهار نفر) است. بنابراین

 تعداد دروغگوها:

تعداد دروغگوها برابر با ۴ نفر است.

  گروه دو نفره: این گروه ادعا می‌کند که دقیقاً دو نفر دروغگو هستند. اگر این ادعا درست باشد، پس ده نفر دیگر باید راستگو باشند. اما این با اظهارات گروه‌های دیگر تناقض دارد. بنابراین، ادعای این گروه نمی‌تواند درست باشد. پس، هر دو نفر این گروه دروغگو هستند.

  گروه چهار نفره: این گروه ادعا می‌کند که دقیقاً چهار

 نفر دروغگو هستند. اگر این ادعا درست باشد، پس هشت نفر دیگر باید راستگو باشند. اما با توجه به اینکه حداقل یکی از دوازده نفر راستگو است و ما قبلاً مشخص کردیم که دو نفر از گروه دو نفره دروغگو هستند، این ادعا نیز نمی‌تواند درست باشد. پس، هیچ‌کدام از اعضای این گروه راستگو نیستند و همه آن‌ها دروغگو هستند.

  گروه شش نفره: این گروه ادعا می‌کند که دقیقاً شش نفر دروغگو هستند. اگر این ادعا درست باشد، پس شش نفر دیگر باید راستگو باشند. با توجه به اینکه ما قبلاً مشخص کردیم که دو نفر از گروه دو نفره و چهار نفر از گروه چهار نفره دروغگو هستند، این ادعا می‌تواند درست باشد. اگر شش نفر از این گروه راستگو باشند، تعداد کل دروغگوها برابر با 6 (دو نفر از گروه دو نفره + چهار نفر از گروه چهار نفره + شش نفر از گروه شش نفره) خواهد شد.

نتیجه‌گیری:

  دو نفر از گروه دو نفره دروغگو هستند.

  چهار نفر از گروه چهار نفره دروغگو هستند.

  شش نفر از گروه شش نفره راستگو هستند (و در نتیجه شش نفر دیگر از این گروه دروغگو هستند).

بنابراین، در مجموع 12 نفر (2+4+6) از دوازده نفر دروغگو هستند.

 در این مسئله، شرط "حداقل یکی از دوازده نفر راستگو است" برای رسیدن به پاسخ نهایی ضروری بود. زیرا اگر هیچ‌کدام از آن‌ها راستگو نبودند، امکان حل مسئله به صورت منطقی وجود نداشت.

پاسخ نهایی: تمام دوازده نفر دروغگو هستند.

1. فرض کنید ۲ نفر دروغگو هستند:
2. در این صورت، باید دو نفر راستگو و ۱۰ نفر دروغگو باشند. این فرض صحیح نیست، زیرا تعداد گفته‌ها با تعداد دروغگوها همخوانی ندارد.
3. فرض کنید ۴ نفر دروغگو هستند:

4. در این صورت، باید چهار نفر راستگو و ۸ نفر دروغگو باشند. این فرض صحیح است، زیرا گفته‌های گروه دوم با تعداد دروغگوها همخوانی دارد و هیچ تناقضی وجود ندارد.

   بنابراین، تعداد دروغگوها ۸ و تعداد راستگوها ۴ نفر است.

5 نفر از آنها دروغگو هستند

۹ نفر. اگر   احتمال دهیم از هر گروه یک نفر حداقل راستگوست. 

۶نفر دروغگو هستن

شش نفر دروغگو  هستند و شش نفر راستگو

دروغ گو دزد خداست.

دروغگو دشمن خداست .

پس در وغ مصلحت آمیزا ست.