تعریف "قضیه رل" در تابع ها

قضیه رل (Rolle's Theorem) در توابع بیان می‌کند که اگر تابعی شرایط خاصی را داشته باشد، حداقل یک نقطه در بازه مورد نظر وجود دارد که مشتق تابع در آن نقطه برابر با صفر است.

شرایط لازم برای اعمال قضیه رول به شرح زیر است:

• تابع f(x) باید در بازه [a, b] پیوسته باشد.
• تابع f(x) باید در بازه (a, b) قابل مشتق گیری باشد.
• مقدار تابع f(x) در دو نقطه a و b باید برابر باشد.

در صورتی که شرایط بالا بر قرار باشد، حداقل یک نقطه c در بازه (a, b) وجود دارد که در آن نقطه داریم:

f'(c) = 0

به عبارت دیگر، در نقطه c مماس بر منحنی تابع افقی است.

قضیه رول کاربردهای زیادی در ریاضیات دارد، از جمله:

• اثبات قضیه مقدار میانگین
• یافتن نقاط عطف تابع
• بررسی تابع از نظر تزايد و تناقص

فرض کنید تابع f(x) = x^2 را در بازه [0, 2] در نظر می‌گیریم. این تابع شرایط قضیه رول را دارا است:

• f(x) در بازه [0, 2] پیوسته است.
• f(x) در بازه (0, 2) قابل مشتق گیری است.
• f(0) = f(2) = 0.

بنابراین، حداقل یک نقطه c در بازه (0, 2) وجود دارد که در آن نقطه داریم:

f'(c) = 0

با محاسبه مشتق تابع f(x) و حل معادله f'(c) = 0 به نقطه c = 1 می‌رسیم. در این نقطه مماس بر منحنی تابع افقی است.