دو سوال سخت ریاضی 2 دانشگاه شریف؛ لطفا کمک!!

تمرین ۱

بردار مکان به صورت زیر داده شده است:
r(t) = t cos(t) i + t sin(t) j + (γπ - t) k  برای t ∈ [0, γπ]

مسیر در صفحه‌ی xy یک مارپیچ حلزونی است چون:
x(t) = t cos t
y(t) = t sin t
=> x² + y² = t² (cos²t + sin²t) = t²
و z(t) = γπ - t که با t کاهش می‌یابد. پس مسیر نهایی مارپیچی سه‌بعدی نزولی است.

مشتق r(t):
r'(t) = (cos t - t sin t) i + (sin t + t cos t) j - k

طول مسیر از رابطه زیر به‌دست می‌آید:
L = ∫₀^{γπ} √(t² + 2) dt

تمرین ۲

تابع پارامتری:
r(t) = sin(t)cos(t) i + sin²(t) j + cos(t) k

مشتق‌گیری:
r'(t) = (cos²t - sin²t) i + 2 sin t cos t j - sin t k

در t = 0:
cos(0) = 1, sin(0) = 0 ⇒ r'(0) = i ⇒ بردار مماس واحد: i

در t = π/4:
cos(π/4) = sin(π/4) = √2 / 2
⇒ r'(π/4) = 0 i + 1 j - √2/2 k
⇒ ||r'(π/4)|| = √(1 + (√2/2)²) = √(3/2) = √6 / 2
بردار مماس واحد:
T(π/4) = (1 / √6)(0 i + 2 j - √2 k)

تحلیل هندسی مسیرها

تمرین ۱:
مسیر ترکیبی از چرخش در صفحه‌ی xy به صورت مارپیچ حلزونی و کاهش در محور z است؛
شبیه به مارپیچ نزولی حول یک مخروط.

 

برای تکمیل راه‌حل، می توانیم منحنیآن را  رسم کنیم تا مسیر حرکت و بردارهای مماس و قائم دوم بهتر مشخص شوند. برای این موضوع کد پایتونی برای رسم این منحنی‌ها و محاسبه‌ی طول منحنی برای شما نوشتم. 

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import quad

# Define the parametric equations
def x(t):
   return t * np.cos(t)

def y(t):
   return t * np.sin(t)

def z(t):
   return np.pi - t

# Compute derivatives
def dx_dt(t):
   return np.cos(t) - t * np.sin(t)

def dy_dt(t):
   return np.sin(t) + t * np.cos(t)

def dz_dt(t):
   return -1

def arc_length_integrand(t):
   return np.sqrt(dx_dt(t)**2 + dy_dt(t)**2 + dz_dt(t)**2)

# Compute arc length
L, _ = quad(arc_length_integrand, 0, np.pi)
print(f"Length of the curve: {L:.4f}")

# Generate points for plotting
t_vals = np.linspace(0, np.pi, 300)
x_vals = x(t_vals)
y_vals = y(t_vals)
z_vals = z(t_vals)

# Plot the curve
fig = plt.figure(figsize=(8,6))
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
ax.plot(x_vals, y_vals, z_vals, label='Parametric Curve', color='b')
ax.set_xlabel("X")
ax.set_ylabel("Y")
ax.set_zlabel("Z")
ax.set_title("3D Plot of the Given Curve")
ax.legend()
plt.show()