تست حل مسئله کنکور ارشد "لطفا با راه حل توضیح بدید "

برای حل این مسئله از روش ترکیب نسبی استفاده می‌کنیم. هدف ما این است که دو نوع حبوبات با قیمت‌های ۱۵ هزار تومان و ۲۰ هزار تومان را به گونه‌ای ترکیب کنیم که قیمت نهایی هر کیلو ۱۶/۵ هزار تومان شود.

گام‌های حل:

فرض می‌کنیم که مغازه‌دار xx کیلو از حبوبات قیمت ۱۵ هزار تومان و yy کیلو از حبوبات قیمت ۲۰ هزار تومان بخرد. در این صورت:

15x+20yx+y=16.5\frac{15x + 20y}{x + y} = 16.5

15x+20y=16.5(x+y)15x + 20y = 16.5(x + y)

15x+20y=16.5x+16.5y15x + 20y = 16.5x + 16.5y

20y−16.5y=16.5x−15x20y - 16.5y = 16.5x - 15x 3.5y=1.5x3.5y = 1.5x

yx=1.53.5=37\frac{y}{x} = \frac{1.5}{3.5} = \frac{3}{7}

پس نسبت yy به xx برابر با ۳ به ۷ است. یعنی مغازه‌دار باید حبوبات را به نسبت ۳ به ۷ ترکیب کند.

پاسخ صحیح:

برای حل این مسئله از روش آلگیشن (ترکیب و مخلوط کردن) استفاده می‌کنیم. مراحل حل به صورت زیر است:

1. قیمت هر کیلوگرم نوع اول: 15 هزار تومان
2. قیمت هر کیلوگرم نوع دوم: 20 هزار تومان
3. قیمت مخلوط: 16.5 هزار تومان

قدم اول: اختلاف قیمت‌ها:

• اختلاف بین قیمت مخلوط و قیمت نوع اول: 16.5−15=1.516.5 - 15 = 1.5
• اختلاف بین قیمت نوع دوم و قیمت مخلوط: 20−16.5=3.520 - 16.5 = 3.5

قدم دوم: نسبت ترکیب:
نسبت وزن‌ها باید معکوس اختلاف قیمت‌ها باشد:

نسبت نوع اول : نوع دوم=3.5:1.5\text{نسبت نوع اول : نوع دوم} = 3.5 : 1.5

قدم سوم: ساده کردن نسبت:
با تقسیم هر دو عدد بر 0.5:

نسبت نوع اول : نوع دوم=7:3\text{نسبت نوع اول : نوع دوم} = 7 : 3

پاسخ نهایی:
مغازه‌دار باید حبوبات نوع اول و دوم را به نسبت 7:3 با هم ترکیب کند.

فرض کنیم که a کیلو از حبوبات ۱۵ هزار تومنی و b کیلو از حبوبات ۲۰ هزار تومنی را خلوط کند؛ در این صورت:

15*a+20*b=16.5*(a+b)
15a + 20b = 16.5a + 16.5b
3.5b=1.5a
3.5/1.5=7/3=a/b

-> (a/b) = (7/3)

مغازه‌دار باید حبوبات با قیمت 15 هزار تومان را به نسبت 7 به 3 (یعنی برای هر 7 کیلو حبوبات با قیمت 15 هزار تومان، 3 کیلو حبوبات با قیمت 20 هزار تومان) ترکیب کند تا مخلوطی با قیمت نهایی هر کیلو 16.5 هزار تومان به دست آورد.

اختلاف قیمت از میانگین رو حساب کرده و به هم تقسیم میکنیم

16.5-15=1.5

20-16.5=3.5

3.5/1.5=3/7

برای حل این مسئله،  از روش معادلات استفاده میکنیم. فرض کنیم مقدار حبوبات نوع اول (با قیمت 15 هزار تومان) را  x  کیلو و مقدار حبوبات نوع دوم (با قیمت 20 هزار تومان) را  y  کیلو در نظر بگیریم.

قیمت نهایی مخلوط باید 16.5 هزار تومان باشد. بنابراین می‌توانیم معادله زیر را بنویسیم:

15x + 20y / x + y = 16.5

حالا این معادله را حل می‌کنیم. ابتدا دو طرف معادله را در  x + y  ضرب می‌کنیم:

15x + 20y = 16.5(x + y)

که به شکل زیر ساده می‌شود:

15x + 20y = 16.5x + 16.5y

حالا همه‌ی اعضای مشابه را به یک سمت منتقل می‌کنیم:

15x + 20y - 16.5x - 16.5y = 0

این معادله را می‌توان به شکل زیر نوشت:

-1.5x + 3.5y = 0

حالا این معادله را ساده می‌کنیم:

1.5x = 3.5y

با تقسیم بر 1.5 داریم:

x = 3.5 / 1.5y

که می‌توان آن را به شکل کسر ساده‌تری نوشت:

x = 7 / 3y

بنابراین نسبت  x  به  y  به صورت زیر خواهد بود:

x / y = 7 / 3

این یعنی نسبت حبوبات نوع اول به نوع دوم برابر با  7:3  است.

نتیجه: مغازه‌دار باید حبوبات نوع اول را به نسبت 7 و حبوبات نوع دوم را به نسبت 3 ترکیب کند.