سوال سخت ریاضی ٢ دانشگاه؛ بحث هندسه فضائی

برای دستیابی به نمره کامل، بهتر است تمام مراحل حل مسئله را با دقت و کامل شرح دهیم. در ادامه، مراحل حل مسئله به صورت جامع و بدون جزئیات اضافی توضیح داده شده است:

## 1. تعریف مسئله

هدف یافتن معادله خطی است که از نقطه \( A = (-4, -5, 3) \) بگذرد و دو خط متنافر داده‌شده را قطع کند.

## 2. نمایش پارامتری خطوط متنافر

### خط اول

معادله خط اول:

\[

\frac{x + 1}{3} = \frac{y + 3}{-2} = 3 - z

\]

معادله پارامتری:

\[

\vec{r}_1 = \begin{pmatrix} -1 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}

\]

که در آن \( t \) پارامتر است. 

### خط دوم

معادله خط دوم:

\[

\frac{x - 2}{2} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z - 1}{-5}

\]

معادله پارامتری:

\[

\vec{r}_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -5 \end{pmatrix}

\]

که در آن \( s \) پارامتر است.

## 3. تعیین خط گذرنده از نقطه A و قطع‌کننده خطوط متنافر

برای تعیین خط مورد نظر، ابتدا بردارهای جهت خطوط متنافر را استخراج می‌کنیم:

- برای خط اول: بردار جهت \( \vec{v}_1 = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} \)

- برای خط دوم: بردار جهت \( \vec{v}_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -5 \end{pmatrix} \)

حال برای یافتن بردار جهت خط جدید، از ترکیب خطی این دو بردار استفاده می‌کنیم:

\[

\vec{d} = \lambda \vec{v}_1 + \mu \vec{v}_2

\]

که در آن \( \lambda \) و \( \mu \) ضرایب ترکیب خطی هستند. با انتخاب \( \lambda = 1 \) و \( \mu = 1 \)، بردار جهت خط جدید به شکل زیر درمی‌آید:

\[

\vec{d} = \vec{v}_1 + \vec{v}_2 = \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}

\]

## 4. معادله پارامتری خط

معادله پارامتری خط جدید که از نقطه \( A \) می‌گذرد و بردار جهت \( \vec{d} \) را دارد به شکل زیر است:

\[

\vec{r} = \vec{A} + t\vec{d}

\]

با جایگذاری مقادیر به دست آمده:

\[

\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}

\]

که به صورت پارامتری نوشته می‌شود:

\[

\begin{cases}

x = 5t - 4 \\

y = t - 5 \\

z = 3 - 6t

\end{cases}

\]

## نتیجه نهایی

معادله خطی که از نقطه \( A = (-4, -5, 3) \) می‌گذرد و دو خط متنافر داده‌شده را قطع می‌کند، به صورت پارامتری زیر است:

\[

\begin{cases}

x = 5t - 4 \\

y = t - 5 \\

z = 3 - 6t

\end{cases}

\]

این معادله خط پاسخ نهایی مسئله است.

---

امیدوارم که این توضیحات کامل بوده و شما را در حل مسئله یاری کرده باشد. اگر نیاز به جزئیات بیشتر یا توضیح بیشتر دارید، خوشحال می‌شوم که کمک کنم

The image contains a mathematical problem that asks to find the equation of a line that passes through the point \( A = (-4, -5, 3) \) and intersects two given lines. The equations of the two lines are:

1. \(\frac{x + 1}{3} = \frac{y + 3}{-2} = 3 - z\)
2. \(\frac{x - 2}{2} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z - 1}{-5}\)

To solve this problem, you would typically follow these steps:

1. **Find the parametric equations** for both lines from the given symmetric equations.
2. **Substitute the coordinates of point A** into the equations to find the specific line that intersects both lines.
3. **Solve the resulting system of equations** to find the intersection points.

If you need a detailed solution or specific calculations based on this setup, let me know!

برای حل این موضوع، معمولاً این مراحل را دنبال کنید:

1- معادلات پارامتری هر دو خط را از معادلات متقارن داده شده بیابید.

2- مختصات نقطه A را در معادلات جایگزین کنید تا خط خاصی را که هر دو خط را قطع می کند پیدا کنید.

3- سیستم معادلات حاصل را حل کنید تا نقاط تقاطع را پیدا کنید.

برای حل این سوال، ما به یک بردار جهت برای خط مورد نظر نیاز داریم. این بردار باید عمود بر بردارهای جهت هر دو خط داده شده باشد.

از معادلات پارامتریک خطوط داده شده، می‌توانیم بردارهای جهت آن‌ها را به صورت زیر استخراج کنیم:

• برای خط اول: بردار جهت برابر است با (3, -2, -3).
• برای خط دوم: بردار جهت برابر است با (2, 3, -5).

برای یافتن برداری که عمود بر هر دو بردار فوق باشد، از حاصل ضرب خارجی استفاده می‌کنیم:

(3, -2, -3) × (2, 3, -5) = (-1, 3, 13)

بنابراین، بردار (-1, 3, 13) عمود بر هر دو بردار جهت خطوط داده شده است و می‌تواند به عنوان بردار جهت خط مورد نظر ما در نظر گرفته شود.

با داشتن یک نقطه روی خط (A) و یک بردار جهت برای خط، می‌توانیم معادله پارامتریک خط را به صورت زیر بنویسیم:

x = -4 - t y = -5 + 3t z = 3 + 13t

که در آن t یک پارامتر حقیقی است.

معادله پارامتریک را می‌توان به شکل متقارن نیز نوشت:

(x + 4) / -1 = (y + 5) / 3 = (z - 3) / 13

معادله خط مستقیمی که از نقطه A(-4, -5, 3) عبور کرده و دو خط داده شده را قطع می‌کند به صورت زیر است:

(x + 4) / -1 = (y + 5) / 3 = (z - 3) / 13

• این معادله به صورت‌های مختلفی قابل نمایش است، اما همه آن‌ها بیانگر یک خط یکتا هستند.
• می‌توانید این معادله را ساده‌تر کرده یا به شکل دیگری بنویسید، اما مفهوم آن تغییر نمی‌کند.

اگر در محاسبات ضرب خارجی یا سایر بخش‌های حل سوال دچار مشکل شدید، می‌توانید از نرم‌افزارهای محاسباتی مانند MATLAB یا Wolfram Alpha کمک بگیرید.

1. یافتن بردارهای جهت خطوط داده شده.
2. یافتن بردار عمود بر هر دو بردار جهت (بردار جهت خط مورد نظر).
3. نوشتن معادله پارامتریک خط با استفاده از نقطه داده شده و بردار جهت.
4. تبدیل معادله به شکل متقارن (اختیاری).

با استفاده از این روش، شما می‌توانید معادله خط مستقیمی را که از یک نقطه مشخص عبور کرده و دو خط متنافر را قطع می‌کند، بیابید.