مساله سنگین ریاضی: همگرایی یا واگرایی انتگرال ناسره

خب کاری که نداره بیا :

1. انتگرال اصلی ما اینه:

  I = ∫[0 تا ∞] (dx / (x^5 + √x))

2. این انتگرال رو به دو قسمت تقسیم می‌کنیم:

  I = ∫[0 تا 1] (dx / (x^5 + √x)) + ∫[1 تا ∞] (dx / (x^5 + √x))

3. حالا دو تا انتگرال داریم:

  (*) قسمت اول: ∫[0 تا 1] (dx / (x^5 + √x))
  (**) قسمت دوم: ∫[1 تا ∞] (dx / (x^5 + √x))

4. برای قسمت (*)، وقتی x کوچکتر از 1 هست:
  x^5 کوچکتر از √x میشه، پس:
  1 / (x^5 + √x) < 1 / √x

5. برای قسمت (**)، وقتی x بزرگتر از 1 هست:
  √x کوچکتر از x^5 میشه، پس:
  1 / (x^5 + √x) < 1 / x^5

6. با استفاده از این نکته‌ها، هر قسمت رو جداگانه بررسی می‌کنیم:

  (*) ∫[0 تا 1] (1 / √x) dx = 2√x |[0 تا 1] = 2
  (**) ∫[1 تا ∞] (1 / x^5) dx = (-1/4x^4) |[1 تا ∞] = 1/4

7. در آخر، جواب‌های دو قسمت رو با هم جمع می‌کنیم:
  I = 2 + 1/4 = 9/4

پس جواب نهایی انتگرال ما میشه 9/4!