ریاضی و هندسه ترسیمی

جواب سوال خدمت دوستان که  لطف کرده و پاسخ ارسال کردید ،، 

محیط یک دایره را به شش قسمت تقسیم کنید ، و نقاط را از نقطه π\۲  شماره گذاری کنید ، و در جهت چرخش عقربه های ساعت تمام نقاط را تا شش تمام کنید حال این چنین خطوط را رسم کنید ، 

از ۱ به ۳ ، از ۳ به ۶ ، از ۶ به ۴ ، از ۴ به ۲  ، از ۲ به ۵ ، و در آخر از ۵ به ۱ 

ملاحظه بفرمایید که شش پر بدست آمده  از  الزاماً دو مثلث  درست نشده است ، 

برای بررسی امکان رسم ستاره‌ها بدون برداشتن قلم، باید از دیدگاه نظریه گراف‌ها (Graph Theory) نگاه کنیم.

🔹 اصل قضیه:
وقتی می‌خواهیم شکلی را بدون برداشتن قلم رسم کنیم (اصطلاحاً یک مسیر اویلری – Eulerian Path یا چرخه اویلری – Eulerian Circuit)، باید بررسی کنیم که آیا گرافِ آن شکل شرایط لازم را دارد:

🔸 ستاره پنج‌پر (Pentagram):

• ستاره‌ی پنج‌پر یک گراف با ۵ رأس است که هر رأس درجه‌ی ۲ دارد (هر نقطه به دو نقطه وصل است).
• همه رأس‌ها درجه‌ی زوج هستند → پس می‌توان آن را یک‌باره و بدون برداشتن قلم رسم کرد. ✅

🔸 ستاره شش‌پر (Hexagram):

• ستاره‌ی شش‌پر معمولاً همان شکل «✡» است که از دو مثلث متداخل ساخته می‌شود.
• اگر بخواهیم آن را به‌صورت یک مسیر پیوسته رسم کنیم:
  • هر رأس (گوشه‌ی مثلث‌ها) درجه‌ی ۴ دارد (چون هر گوشه به دو خط مثلث خودش و دو خط مثلث دیگر وصل است).
  • همه رأس‌ها درجه‌ی زوج هستند → پس از نظر نظریه‌ی اویلر، امکان رسم بدون برداشتن قلم وجود دارد. ✅

اما نکته‌ی مهم:

• در عمل، اگر بخواهیم ستاره‌ی شش‌پر را دقیقاً به شکل «دو مثلث جداگانه» رسم کنیم، مجبوریم یک مثلث را کامل کنیم و بعد مثلث دیگر را بکشیم → یعنی قلم را برداریم.
• ولی اگر آن را به‌صورت یک چرخه‌ی پیوسته طراحی کنیم (یعنی مسیر خطوط را طوری انتخاب کنیم که مثلث‌ها در هم تنیده شوند)، می‌توان بدون برداشتن قلم کل شکل را کشید.

🔸 نتیجه:

• ستاره پنج‌پر: همیشه قابل رسم بدون برداشتن قلم.
• ستاره شش‌پر: به شکل کلاسیک (دو مثلث جدا) نه، ولی اگر آن را به‌صورت یک گراف پیوسته در نظر بگیریم، بله می‌توان بدون برداشتن قلم و بدون دوباره‌روی یک ضلع آن را رسم کرد.

جناب الهیاری اگر منظور شما رعایت قضیه اویلر  که محدود به انتخاب نقطه شروع از یک راس  باشد، بعلت ناهمبند بودن دو مثلث این امکان وجود ندارد تا بدون برداشتن قلم ستاره شش پر  کشید ولی اگر هر نقطه از تقاطع دو مثلث با هم را راس در نظر  بگیریم، این امکان به راحتی قابل انجام است و در پرسش شما چنین شرطی لحاظ نشده، پس قابل انجام هست.