سوال مدیریت مالی
سهم "الف" و "ب" که انحراف از معیار آنها 0.7 و 0.2 میباشد ، اگر ضریب همبستگی بین بازده دو سهم 0.42 باشد ، انحراف معیار سبدحداقل واریانس چقدر است؟
٣ پاسخ
برای محاسبه انحراف معیار سبد حداقل واریانس از فرمول زیر استفاده می‌کنیم:
\[ \sigma_p = \sqrt{w_A^2 \sigma_A^2 + w_B^2 \sigma_B^2 + 2 w_A w_B \rho_{AB} \sigma_A \sigma_B} \]
در اینجا:
- \(\sigma_A\) و \(\sigma_B\) انحراف معیارهای سهم‌های A و B هستند.
- \(\rho_{AB}\) ضریب همبستگی بین بازده دو سهم است.
- \(w_A\) و \(w_B\) وزن‌های سهم‌های A و B در سبد حداقل واریانس هستند.
برای یافتن وزن‌های سبد حداقل واریانس، از فرمول‌های زیر استفاده می‌کنیم:
\[ w_A = \frac{\sigma_B^2 - \rho_{AB} \sigma_A \sigma_B}{\sigma_A^2 + \sigma_B^2 - 2 \rho_{AB} \sigma_A \sigma_B} \]
\[ w_B = 1 - w_A \]
حال، با استفاده از داده‌های موجود:
- \(\sigma_A = 0.7\)
- \(\sigma_B = 0.2\)
- \(\rho_{AB} = 0.42\)
ابتدا وزن‌ها را محاسبه می‌کنیم و سپس انحراف معیار سبد حداقل واریانس را بدست می‌آوریم.
وزن‌های سبد حداقل واریانس به صورت زیر محاسبه شدند:
- وزن سهم A: \(-0.0456\)
- وزن سهم B: \(1.0456\)
انحراف معیار سبد حداقل واریانس برابر است با \(0.198\).
برای محاسبه انحراف معیار سبد حداقل واریانس، به مراحل زیر نیاز داریم:
1. محاسبه واریانس سبد:واریانس سبد (σp^2) با استفاده از واریانس سهم‌ها (σi^2)، وزن سهم‌ها (wi) و ضریب همبستگی بین بازده سهم‌ها (ρij) به صورت زیر محاسبه می‌شود:
σp^2 = Σ wi^2 * σi^2 + ΣΣ wi * wj * ρij * σi * σj
در این معادله:
- i و j نمایانگر سهم‌های مختلف در سبد هستند.
- n تعداد کل سهم‌ها در سبد است.
در مثال مورد نظر، n = 2، σa^2 = 0.7^2 = 0.49، σb^2 = 0.2^2 = 0.04 و ρab = 0.42 است.
با فرض اینکه وزن سهم "الف" برابر با w1 و وزن سهم "ب" برابر با w2 باشد، معادله واریانس سبد به صورت زیر می‌شود:
σp^2 = w1^2 * 0.49 + w2^2 * 0.04 + 2 * w1 * w2 * 0.42 * 0.7 * 0.2
2. بهینه‌سازی واریانس سبد:برای به دست آوردن سبد حداقل واریانس، باید مقادیر w1 و w2 را به گونه‌ای انتخاب کنیم که σp^2 به حداقل برسد. این کار با استفاده از مشتق‌گیری جزئی و حل معادلات حاصل انجام می‌شود.
با انجام محاسبات، مقادیر بهینه برای w1 و w2 به ترتیب برابر با 0.68 و 0.32 بدست می‌آید.
3. محاسبه انحراف معیار سبد حداقل واریانس:با جایگزینی مقادیر بهینه w1 و w2 در معادله واریانس سبد، انحراف معیار سبد حداقل واریانس (σp) به صورت زیر محاسبه می‌شود:
σp = √(0.68^2 * 0.49 + 0.32^2 * 0.04 + 2 * 0.68 * 0.32 * 0.42 * 0.7 * 0.2) σp ≈ 0.39
بنابراین، انحراف معیار سبد حداقل واریانس که از سهم‌های "الف" و "ب" با انحراف معیار 0.7 و 0.2 و ضریب همبستگی 0.42 تشکیل شده است، تقریباً 0.39 میباشد.نکات:- سبد حداقل واریانس، سبدی است که برای سطح مشخصی از بازده مورد انتظار، کمترین ریسک (کمترین واریانس) را به همراه دارد.
- در سبد حداقل واریانس، همواره همبستگی منفی بین بازده سهم‌ها وجود دارد.
- با بهینه‌سازی سبد سهام، می‌توان با ریسک ثابت، به بازده مورد نظر دست یافت یا با ریسک کمتر، به بازده مشابه دست یافت.
پاسخ شما
