سوال هندسه کنکور

برای حل این مسئله، ابتدا باید نسبت ابعاد مثلث بزرگتر به مثلث کوچکتر را پیدا کنیم. سپس از این نسبت برای محاسبه مساحت‌ها استفاده کنیم.

1. نسبت اضلاع:
   • بزرگترین ضلع مثلث اصلی 9 واحد است.
   • بزرگترین ضلع مثلث کوچکتر 6 واحد است.
   • نسبت اضلاع 69=23\frac{6}{9} = \frac{2}{3} است.
2. نسبت مساحت‌ها:
   • مساحت مثلث متناسب با مربع اضلاع است.
   • بنابراین، نسبت مساحت‌ها (23)2=49\left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{4}{9} است.
3. مساحت منطقه بین دو مثلث:
   • فرض کنید AA مساحت مثلث کوچکتر باشد.
   • مساحت مثلث بزرگتر 94A\frac{9}{4} A است.
   • مساحت منطقه بین دو مثلث 94A−A=54A\frac{9}{4} A - A = \frac{5}{4} A است.

بنابراین، مساحت محدود به این دو مثلث 54\frac{5}{4} برابر مساحت مثلث کوچکتر است.

مساحت محدود به دو مثلث 5/4​ برابر مساحت مثلث کوچک است.

ما با دو مثلث روبرو هستیم:

• مثلث بزرگ: اضلاع آن 9، 7 و 5 واحد است.
• مثلث کوچک: اضلاع آن موازی اضلاع مثلث بزرگ است و بزرگترین ضلع آن 6 واحد است.

از ما خواسته شده تا نسبت مساحت ناحیه بین این دو مثلث به مساحت مثلث کوچک را پیدا کنیم.

1. تشخیص نوع مثلث‌ها:
   • با توجه به اینکه اضلاع مثلث کوچک موازی اضلاع مثلث بزرگ است، می‌توان نتیجه گرفت که این دو مثلث متشابه هستند.
   • در مثلث‌های متشابه، نسبت اضلاع متناظر برابر است و همچنین نسبت مساحت‌ها برابر با مجذور نسبت اضلاع متناظر است.
2. یافتن نسبت تشابه:

3. بزرگترین ضلع مثلث بزرگ 9 واحد و بزرگترین ضلع مثلث کوچک 6 واحد است. پس نسبت تشابه این دو مثلث برابر است با: 

   نسبت تشابه = ضلع بزرگ مثلث کوچک / ضلع بزرگ مثلث بزرگ = 6 / 9 = 2/3

4. یافتن نسبت مساحت‌ها:

   • همانطور که گفتیم، نسبت مساحت‌ها برابر با مجذور نسبت اضلاع متناظر است: 

     نسبت مساحت‌ها = (نسبت تشابه)² = (2/3)² = 4/9

   • این یعنی مساحت مثلث بزرگ 4/9 برابر مساحت مثلث کوچک است.
5. محاسبه مساحت ناحیه بین دو مثلث:
   • برای پیدا کردن مساحت ناحیه بین دو مثلث، کافی است مساحت مثلث بزرگ را از مساحت مثلث کوچک کم کنیم.
   • اگر مساحت مثلث کوچک را 1 واحد در نظر بگیریم، مساحت مثلث بزرگ 4/9 واحد خواهد بود.

   • پس مساحت ناحیه بین دو مثلث برابر است با: 

     مساحت ناحیه بین دو مثلث = مساحت مثلث بزرگ - مساحت مثلث کوچک = 4/9 - 1 = 5/9 واحد

مساحت محدود به این دو مثلث (یعنی ناحیه بین دو مثلث) برابر با 5/9 برابر مساحت مثلث کوچکتر است.

پاسخ نهایی: 5/9

نکته: در این سوال از ما خواسته شده نسبت مساحت‌ها را پیدا کنیم، بنابراین نیازی به محاسبه دقیق مساحت هر یک از مثلث‌ها نبود. با استفاده از خاصیت تشابه مثلث‌ها، به راحتی به پاسخ رسیدیم.

مثلث جدید با مثلث اصلی متشابه هستش، در نتیجه بزرگ‌ترین ضلعش که طولش ۶ هست متناظر با بزرگ‌ترین ضلع مثلث اصلی به طول ۹ هست. در نتیجه نسبت تشابه برابر ۶/۹=۲/۳ هستش.
مساحث مثلث جدید  نسبت به مساحت مثلث اولیه برابر با نسبت تشابه به توان دو (۴/۹) هستش.
در نتیجه مساحت محدود بین این دو مثلث نسبت به مساحت مثلث اولیه برابر با یک منهای ۴/۹ یعنی ۵/۹ هستش.
نسبت مساحت محدود بین دو مثلث به مساحت مثلث کوچک‌تر برابر هستش با نسبت (مساحت محدود بین دو مثلث به مساحت مثلث بزرگ) تقسیم بر (نسبت مساحت مثلث کوچک‌تر به مساحت مثلث بزرگ)؛ یعنی پنج نهم تقسیم بر چهار نهم.
در نتیجه جواب نهایی مسئله۵/۴=۱.۲۵ هستش.