در ریاضیات و جبر مجرد، نظریه گروه ها ( به انگلیسی: Group Theory ) به مطالعه ساختارهای جبری به نام گروه ها می پردازد. مفهوم گروه در جبر مجرد نقش محوری دارد: سایر ساختارها شناخته شده همچون حلقه ها، میدان ها، و فضاهای برداری، همگی را می توان به صورت گروه هایی دید که به عملیات و اصول موضوعه های اضافه تری مجهز شده اند. گروه ها، در موارد متعددی از ریاضیات ظهور پیدا کرده اند و روش های نظریه گروه ها بخش های متعددی از جبر را تحت تأثیر خود قرار داده اند. گروه های جبری خطی و گروه های لی دو شاخه از نظریه گروه ها اند که پیشرفت هایی را تجربه کرده و تبدیل به شاخه های مستقلی برای خود شده اند.
سامانه های فیزیکی متعددی همچون بلورها و اتم های هیدروژن را می توان به صورت گروه های تقارنی مدل کرد. ازین رو، نظریه گروه ها و شاخه نزدیک به آن یعنی نظریه نمایش، دارای کاربردهای مهم و متعددی در فیزیک، شیمی و علم مواد می باشند. همچنین نظریه گروه ها در رمزنگاری کلید عمومی نقش مرکزی دارد.
تاریخچه نظریه گروه ها از قرن ۱۹م میلادی شروع می شود. یکی از مهم ترین دستاوردهای ریاضیاتی سده ۲۰ میلادی، [ ۱] تلاش مشارکت آمیزی بود که منجر به تولید محتوایی در حد ۱۰٬۰۰۰ از صفحات ژورنال ها شد که عمدتاً بین سال های ۱۹۶۰ و ۱۹۸۰ میلادی منتشر شده و با طبقه بندی گروه های ساده متناهی به اوج خود رسید.
نظریه گروه ها به وسیله چهارشاخه عمده از ریاضیات جبر کلاسیک، نظریه اعداد، هندسه و آنالیز رشد و گسترش یافت. جبر کلاسیک در سال ۱۷۷۰ با کارهای ژوزف لویی لاگرانژ بر روی معادلات چندجمله ای پایه گذاری شد.
نظریه اعداد به وسیله کارل فردریش گاوس در سال ۱۸۰۱ مورد مطالعه و گسترش هرچه بیشتر قرار گرفت و سی. اف. کلاین در زمینه هندسه و ارتباط تبدیلات هندسی و گروه ها کارهای بسیار انجام داده است به طوری که او را پدر این بخش از نظریه گروه ها می دانند و بنیانگذار شاخه آنالیز نیز هنری پوانکاره، اس. لی لای و سی. اف کلاین هستند.
اما لئونارد اویلر ( Euler ) ، گاوس ( Gauss ) ، لاگرانژ ( Lagrange ) ، آبل ( Abel ) و ریاضیدان فرانسوی گالوا ( Galois ) اولین کسانی بودند که در زمینه نظریه گروه ها به تحقیق پرداخته بودند. خصوصاً گالوا به دلیل قضیه اساسی خود که رابطی بین گروه ها و حلقه ها است و امروزه آن را قضیه گالوا می خوانند بسیار مورد توجه است.
اگرچه مفهوم گروه تبدیل ها در مطالعه هندسه به کندی صورت گرفته است، اما کار اصلی در گسترش مفهوم گروه از مطالعه معادلات چندجمله ای حاصل شده است. یونانیان قدیم از روش های حل معادله درجه دو آگاه بودند. در قرن شانزدهم قدم هایی برای حل معادلات درجه سوم و چهارم روی Q برداشته شد. اولین کاربرد گروه ها در توصیف تأثیر جایگشتهای ریشه های یک معادله چندجمله ای بوده است که به وسیله لاگرانژ مورد استفاده قرار گرفته است که بر مبنای همین او توانست نظریه جانشانی را سازمان دهد.
این نوشته برگرفته از سایت ویکی پدیا می باشد، اگر نادرست یا توهین آمیز است، لطفا گزارش دهید: گزارش تخلفسامانه های فیزیکی متعددی همچون بلورها و اتم های هیدروژن را می توان به صورت گروه های تقارنی مدل کرد. ازین رو، نظریه گروه ها و شاخه نزدیک به آن یعنی نظریه نمایش، دارای کاربردهای مهم و متعددی در فیزیک، شیمی و علم مواد می باشند. همچنین نظریه گروه ها در رمزنگاری کلید عمومی نقش مرکزی دارد.
تاریخچه نظریه گروه ها از قرن ۱۹م میلادی شروع می شود. یکی از مهم ترین دستاوردهای ریاضیاتی سده ۲۰ میلادی، [ ۱] تلاش مشارکت آمیزی بود که منجر به تولید محتوایی در حد ۱۰٬۰۰۰ از صفحات ژورنال ها شد که عمدتاً بین سال های ۱۹۶۰ و ۱۹۸۰ میلادی منتشر شده و با طبقه بندی گروه های ساده متناهی به اوج خود رسید.
نظریه گروه ها به وسیله چهارشاخه عمده از ریاضیات جبر کلاسیک، نظریه اعداد، هندسه و آنالیز رشد و گسترش یافت. جبر کلاسیک در سال ۱۷۷۰ با کارهای ژوزف لویی لاگرانژ بر روی معادلات چندجمله ای پایه گذاری شد.
نظریه اعداد به وسیله کارل فردریش گاوس در سال ۱۸۰۱ مورد مطالعه و گسترش هرچه بیشتر قرار گرفت و سی. اف. کلاین در زمینه هندسه و ارتباط تبدیلات هندسی و گروه ها کارهای بسیار انجام داده است به طوری که او را پدر این بخش از نظریه گروه ها می دانند و بنیانگذار شاخه آنالیز نیز هنری پوانکاره، اس. لی لای و سی. اف کلاین هستند.
اما لئونارد اویلر ( Euler ) ، گاوس ( Gauss ) ، لاگرانژ ( Lagrange ) ، آبل ( Abel ) و ریاضیدان فرانسوی گالوا ( Galois ) اولین کسانی بودند که در زمینه نظریه گروه ها به تحقیق پرداخته بودند. خصوصاً گالوا به دلیل قضیه اساسی خود که رابطی بین گروه ها و حلقه ها است و امروزه آن را قضیه گالوا می خوانند بسیار مورد توجه است.
اگرچه مفهوم گروه تبدیل ها در مطالعه هندسه به کندی صورت گرفته است، اما کار اصلی در گسترش مفهوم گروه از مطالعه معادلات چندجمله ای حاصل شده است. یونانیان قدیم از روش های حل معادله درجه دو آگاه بودند. در قرن شانزدهم قدم هایی برای حل معادلات درجه سوم و چهارم روی Q برداشته شد. اولین کاربرد گروه ها در توصیف تأثیر جایگشتهای ریشه های یک معادله چندجمله ای بوده است که به وسیله لاگرانژ مورد استفاده قرار گرفته است که بر مبنای همین او توانست نظریه جانشانی را سازمان دهد.
wiki: نظریه گروه ها