ایده ال

ایده آل (نظریه حلقه ها). یک ایده آل ( به انگلیسی: ideal ) در نظریه حلقه ها، که شاخه ای جبر مجرد است، یک «زیرمجموعه به خصوص» از اعضای یک حلقه است. ایده آل ها زیرمجموعه های معینی از اعداد صحیح مثل اعداد زوج یا اعداد مضارب ۳ را تعمیم می دهند. جمع و تفریق اعداد زوج، زوجیت را حفظ می کند، و همچنین ضرب یک عدد زوج با هر عدد صحیح دیگر، یک عدد زوج خواهد بود؛ این خاصیت های بسته بودن و جذبی، خواص تعریف کننده یک ایده آل هستند. از ایده آل می توان برای ساخت حلقه خارج قسمتی استفاده کرد، به همان روشی که در نظریه گروه ها، از یک زیرگروه نرمال برای ساخت یک گروه خارج قسمتی استفاده می شود.
از بین اعداد صحیح، ایده آل ها در تناظر یک به یک با اعداد صحیح نامنفی هستند: در این حلقه، هر ایده آل یک ایده آل اصلی است که شامل ضرایب یک عدد نامنفی است. با این حال، در دیگر حلقه ها، ایده آل ها در تناظر مستقیم با عناصر حلقه نیستند، و ویژگی های معین اعداد صحیح، وقتیکه به حلقه ها تعمیم داده شوند، به صورت طبیعی تر با ایده آل ها و نه عناصر حلقه، متصل می گردند. برای مثال، ایده آل های اول یک حلقه، مشابه اعداد اول بوده و قضیه باقیمانده چینی را می توان به ایده آل ها تعمیم داد. نسخه ای از تجزیه یکتا به اعداد اول برای ایده آل های دامنه ددکیند ( نوعی حلقه که در نظریه اعداد اهمیت دارد ) هم وجود دارد.
مفهوم مرتبط اما متفاوت، مفهوم ایده آل در نظریه ترتیب است که، از مفهوم ایده آل ها در نظریه حلقه ها منشأ گرفته است. یک ایده آل کسری نوعی تعمیم برای ایده آل است، از این رو به ایده آل های معمولی برای ابهام زدایی بهتر گاهی ایده آل های صحیح می گویند.
ایده آل ها اولین بار توسط ریچارد ددکیند در ۱۸۷۶ میلادی در ویرایش سوم کتابش با عنوان Vorlesungen über Zahlentheorie ( رساله هایی در مورد نظریه اعداد ) ارائه شدند. آن ها تعمیم مفهوم اعداد ایده آل بودند که توسط ارنست کومر توسعه یافته بودند. [ ۱] [ ۲] سپس این مفهوم توسط دیوید هیلبرت و به خصوص امی نوتر گسترش یافتند.
برای یک حلقه دلخواه چون ( R , + , . ) ، ( R , + , . ) را مجگروه جمعی آن در نظر بگیرید. زیرمجموعه ای چون I را ایده آل چپ حلقه R گویند اگر زیرمجموعه ای جمعی از R باشد که «ضرب عناصر R را از سمت چپ جذب کند»، یعنی I یک ایده آل چپ است اگر دو شرط زیر را ارضاء کند:
• ( I , + ) {\displaystyle ( I, + ) } یک زیرگروه از ( R , + ) {\displaystyle ( R, + ) } باشد،
• برای هر r ∈ R {\displaystyle r\in R} و هر x ∈ I {\displaystyle x\in I} ، ضرب r x {\displaystyle rx} در I {\displaystyle I} باشد.