ریاضیات

ریاضیات ( به پارسی سره: انگارش یا رایش ) [ ۱] ( به تاجیکی: مَتِماتیک ) ( به انگلیسی: mathematics ) فن محاسبهٔ اعداد بوده و نیز به مطالعهٔ مباحثی چون کمیت ( نظریه اعداد ) ، [ ۲] ساختار ( جبر ) ، [ ۳] فضا ( هندسه ) ، [ ۲] و تغییرات ( آنالیز ریاضیات ) [ ۴] می پردازد. [ ۵] [ ۶] [ ۷] در حقیقت، تعریفی جهانی که همه بر سر آن توافق داشته باشند، برای ریاضیات وجود ندارد.
ریاضی دانان به دنبال الگوهایی هستند که بتوان از آن ها استفاده کرده و حدس های جدید را به صورت فرمول درآورد؛ آن ها درستی یا نادرستی حدس ها را با اثبات ریاضی نشان می دهند. هرگاه ساختارهای ریاضی مدل های خوبی از پدیده های جهان واقعی باشند، استدلال ریاضی می تواند پیش بینی هایی برای طبیعت ارائه کند. علم ریاضیات با استفاده از انتزاع و منطق از مفاهیمی چون شمردن، محاسبه و اندازه گیری و مطالعهٔ نظام مند شکل ها و حرکات اشیای فیزیکی به وجود آمد. ریاضیات کاربردی از زمانی که انسان نوشتن را آموخت، به عنوان فعالیتی بشری وجود داشته است. تحقیقات مورد نیاز برای حل مسائل ریاضی، ممکن است سال ها یا حتی سده ها طول بکشد.
استدلال های استوار ابتدا در ریاضیات یونان باستان ظاهر شدند؛ به خصوص در اثر عناصر اقلیدس. از زمان کارهای تحقیقاتی جوزپه پئانو ( ۱۸۵۸–۱۹۳۲ ) ، داویت هیلبرت ( ۱۸۶۲–۱۹۴۳ ) و دیگران بر روی دستگاه اصول موضوعه ای در پایان سده نوزدهم میلادی، روش تحقیقاتی ریاضیدانان به این شکل درآمده که آن ها حقایق را با استدلال ریاضی از مجموعهٔ منتخبی از اصول موضوعی و تعاریف به دست می آورند. روند پیشرفت ریاضیات تا زمان رنسانس سرعت نسبتاً آرامی داشت، تا زمانی که نوآوری های ریاضیاتی با کشفیات علمی برهم کنش کرده و منجر به افزایش سریع نرخ اکتشافات ریاضی گشت و تا به امروز نیز ادامه دارد. [ ۸]
ریاضیات در بسیاری از زمینه ها مثل علوم طبیعی، مهندسی، پزشکی، اقتصاد و علوم اجتماعی یک علم ضروری است. شاخه های کاملاً جدیدی در ریاضیات به وجود آمده اند؛ مثل نظریهٔ بازی ها. ریاضی دانان در ریاضیات محض ( مطالعهٔ ریاضی به هدف کشف هرچه بیشتر رازهای خود آن ) بدون اینکه هیچ گونه هدف کاربردی در ذهن داشته باشند به تحقیقات می پردازند؛ در حالی که کاربردهای عملی یافته های آن ها معمولاً بعدها کشف می شود. [ ۹] مادر علوم جهان ریاضیات است.

ریاضیّات (mathematics)
علم اعداد، شکل ها، ساختارهای مجرد، و روابط بین آن ها، که از اعمال ابتدایی شمارش، اندازه گیری، و توصیف شکل اشیاء نشأت گرفته است. ریاضیات به شاخه ها و زیرشاخه های متعددی تقسیم می شود و امروز بیش از ۹۰ مبحث را دربر می گیرد. جبر، آنالیز، هندسه و توپولوژی، و نظریۀ اعداداز شاخه های عمدۀ ریاضیات محضبه شمار می آیند و مباحثی چون آنالیز عددی، تحقیق در عملیات، فیزیک ریاضی، و آمار، که اتکای زیادی به ریاضیات و ارتباط مستقیمی نیز با مسائل عملی و علوم و فنون دیگر دارند، جزو ریاضیات کاربردییا کاربسته محسوب می شوند. این مرزبندی دقیق و قطعی نیست، زیرا بسیاری از مباحث ریاضی را به اعتباری می توان محض به شمار آورد و به اعتبار جنبه ها و شاخه های کاربردی آن کاربسته قلمداد کرد.
ریاضیات در دوران اولیه. انسان های ماقبل تاریخ احتمالاً می توانستند اعداد را دست کم تا ده، به کمک انگشتان دست، بشمرند. مصریان باستان(هزارۀ ۳پ م)، سومریان(۲۰۰۰ـ۱۵۰۰پ م) و چینی ها (۱۵۰۰پ م) روش هایی برای نوشتن اعداد داشتند و می توانستند محاسباتی را با انواع گوناگون چرتکهصورت دهند. آن ها بعضی کسرهارا هم به کار می بردند. ریاضی دانان مصر باستان قادر بودند مسئله های ساده ای را برای یافتن کمیتی حل کنند که در رابطۀ خطی مفروضی صدق می کرد. ریاضی دانان سومری می دانستند که چگونه معادلات درجۀ دومرا حل کنند. این واقعیت که در مثلث قائم الزاویه، مربع بزرگ ترین ضلع(وتر) برابر با مجموع مربعات دو ضلع دیگر است (قضیۀ فیثاغورس) به اشکال گوناگون، در این تمدن ها، و نیز در تمدن ودایی هند(۱۵۰۰پ م) دانسته بود. نخستین ریاضی دان نظری را طالس ملطی(ح ۵۸۰پ م) می دانند که گمان می رود نخستین برهان ها را در هندسۀ مسطحهعرضه کرده باشد. شاگردش، فیثاغورس، هندسه را به منزلۀ علم به یونانیان شناساند. فیثاغورس از نخستین کسانی بود که عقیده داشتند حکم های ریاضی باید ثابت شوند، یعنی با کمک زنجیره ای از استدلال های منطقی از مفروضات قابل قبول به دست آیند. نیاز به اثبات منطقی از آن جا پدید آمد که فیثاغورسیان به این کشف شگفت انگیز نایل شدند که ریشۀ دوم ۲ عددی نیست که به صورت نسبت دو عدد صحیح بیان پذیر باشد. استفاده از استدلال منطقی، که روش های آن را ارسطو تنظیم و تلخیص کرد، به ریاضی دانان یونانی امکان داد به جای این که مانند ریاضی دانان پیشین مسئله ها را تک تک حل کنند، به تدوین حکم های کلی بپردازند. نمونۀ بارز حال و هوای حاکم بر ریاضیات یونانی در یکی از ماندگارترین دستاوردهای بشر، یعنی اصولاقلیدس، متجلی است. اصول رساله کاملی دربارۀ هندسه است که در آن کل موضوع به شکل منطقی از تعدادی گزارۀ ساده استنتاج می شود. ریاضی دانان یونانی فاقد نمادهای سادۀ نمایش اعداد بودند و تقریباً همیشه مسئله ها را به زبان هندسی بیان می کردند. هرچند یونانی ها در روش های هندسی خود بسیار موفق بودند، هرگز نظریه ای کلی دربارۀ معادلات یا ایده ای دربارۀ ساختارها عرضه نکردند. با این حال، پیشرفت های قابل ملاحظه ای در روش حل انواع خاصی از معادلات به دست آوردند. این فنون و روش ها را دیوفانتوس اسکندرانیتنظیم و تلخیص کرد.
قرون وسطا. وقتی تمدن هلنی(یونانی مآب) رو به افول نهاد، میراث ریاضیات و بقیۀ علوم یونانی را مسلمانان حفظ کردند. در مؤسسۀ علمی بیت الحکمۀ بغداد که مأمون، خلیفه عباسی، تأسیس کرده بود، بسیاری از متون یونانی به عربی ترجمه شد و مسلمانان مباحث یونانی را تا حدی گسترش دادند. آن ها از دستاوردهای علمی مهم هندیان، از جمله ابداع دستگاهی از ارقام که امروز به ارقام «عربی» یا «هندی ـ عربی» معروف است، آگاه بودند. با استفاده از این دستگاه، آن ها به جای توسل به چرتکه محاسبات را می نوشتند. ریاضی دان برجستۀ ایرانی، خوارزمی، پلی بین دوران باستان و قرون وسطا بود که روش های یونانی و هندی را برای حل معادلات جمع بندی کرد و نخستین رساله را دربارۀ ارقام هندی و محاسبه با آن ها نوشت. با ترجمۀ کتاب های خوارزمی و سایر آثار عربی زبان به لاتینی، توجه به ریاضیات در اروپای غربی در قرن ۱۲م رو به افزایش نهاد. نیازهای بازرگانی انگیزۀ اصلی پیشرفت ریاضیات بود و ایتالیای شمالی، مرکز تجارت آن زمان، چندین ریاضی دان مهم پرورد که اولین آن ها لئوناردو فیبوناتچیبود که ارقام عربی را معرفی کرد. ایتالیایی ها پیشرفت های نظرگیری نیز در حساب مقدماتیبه دست آوردند که برای تبدیل پول و حسابداری دوبل، که در ونیز ابداع شد، ضرورت داشت. ریاضی دانان ایتالیایی نوشتن معادله را با استفاده از نماد، به جای کلمه، باب کردند. این نمادگذاری جبری کانون توجه را از حل تک معادله ها به بررسی روابط بین معادلات و جواب هایشان منتقل کرد و سرانجام به کشف روش های حل معادلات درجۀ سوم(ح ۱۵۱۵) و معادلات درجۀ چهارمانجامید و درنظرگرفتن ریشۀ دوم اعداد منفی(اعداد مختلط) در جواب معادلات آ‎غاز شد.
اوایل دورۀ مدرن. در قرن ۱۷، کانون فعالیت ریاضی به فرانسه و بریتانیا انتقال یافت و موضوعات عمدۀ ریاضیات ایتالیایی پیگیری شد. این موضوعات عبارت بودند از اصلاح روش های محاسبه، پیشرفت نمادگذاری جبری، و توسعه و تکامل روش های ریاضیِ کاربردی در فیزیک و نجوم. هندسه با ابداع هندسۀ تحلیلیبه دست رنه دکارت(۱۶۳۷) تجدید حیات یافت. بلز پاسکالو پیر دو فرمانظریۀ احتمالرا پدید آوردند. جان نپِرلگاریتمرا اختراع کرد و آیزاک نیوتونو گوتفرید لایب نیتسحساب دیفرانسیل و انتگرالرا ابداع کردند. بعدها، اوگوستین کوشیاین حساب را بر پایۀ دقیق تری استوار کرد. در روسیه، نیکلای لُباچفسکیاصول موضوع توازی اقلیدسرا کنار گذاشت و هندسه ای نااقلیدسیپدید آورد. این هندسه را متعاقباً برنهارد ریمانتعمیم داد و آلبرت اینشتین آن را در نظریۀ نسبیتبه کار برد. در اواسط قرن ۱۹، موضوع مهم جدیدی پدیدار شد که بررسی مبانی منطقی ریاضیات بود. جورج بولنشان داد که می توان استدلال های منطقی را با نمادگان جبری بیان کرد. فریدریش فرگهو جوزپه پئانواین منطق نمادیرا بسیار گسترش دادند.
دورۀ معاصر. ریاضیات در قرن ۲۰ به رشته های بسیار متنوعی تقسیم و هر رشتۀ تخصصی بسیار عمیق کاویده شد، چندان که دستاوردهای پیشرفته در بعضی رشته ها ممکن است برای پژوهشگران سایر رشته ها قابل فهم نباشد. ریاضی دانان شاغل در دانشگاه ها امکان داشته اند که در زمینۀ مورد علاقۀ خود، صرف نظر از کاربردهایش، پژوهش کنند. با این حال، شاخه های جدیدی از ریاضیات سربرآورد ه اند که اهمیت عملی زیادی دارند و شامل مفاهیمی بنیادی اما بسیار ساده اند که در دبیرستان آموزش داده می شوند. شاید مهم ترینِ آن ها نظریۀ ریاضی آمار باشد که کارل پیرسونتحقیقات پیش گامانۀ بسیاری در زمینۀ آن صورت داد. رشتۀ جدید دیگر، تحقیق عملیاتیاست که موضوع آن تعیین مسیر عمل بهینه در شرایط واقعی، به خصوص، در اقتصاد و مدیریت است. بار دیگر، همانند قرون وسطا، تجارت به منزلۀ محرک مهم پیشبرد ریاضیات درآمده است. رایانه های الکترونیکِ بسیار سریع ابزار نیرومندی برای ریاضیات به دست داده اند، زیرا می توانند «مدل ها»ی ریاضی سیستم های گوناگون را در علوم، فناوری، و بازرگانی بسازند یا به صورت های دلخواه تغییر دهد.
|}