هماهنگ های کروی

در ریاضیات، هماهنگ های کروی بخش زاویه ای مجموعه ای از جواب های متعامد برای معادله لاپلاس هستند که در دستگاه مختصات کروی بیان شده است. هماهنگ های کروی کاربردهای نظری و عملی زیادی دارند، به ویژه در محاسبهٔ ترازهای الکترونی اتم ها، نمایش میدان های گرانشی، میدان مغناطیسی سیارات و تابش زمینه کیهانی. در گرافیک رایانه ای سه بعدی، هماهنگ های کروی نقش خاصی را در مسائل گوناگونی بازی می کنند، مانند نورپردازی غیرمستقیم و تشخیص اشیای سه بعدی.
معادله لاپلاس در مختصات کروی به شکل زیر است:
با تبدیل f ( r, θ، φ ) =R ( r ) Θ ( θ ) Φ ( φ ) ، بخش زاویه ای معادلهٔ لاپلاس در شرط زیر صدق می کند:
با به کاربردن روش جداسازی متغیرها به دو معادله دیفرانسیل زیر می رسیم:
برای هر m و l. بنابراین می توان نشان داد که بخش زاویه ای جواب، حاصل ضرب توابع مثلثاتی و توابع وابسته لژاندر هستند:
که در آن Y ℓ m هماهنگ کروی درجهٔ ℓ و مرتبهٔ m خوانده می شود و P ℓ m تابع وابسته لژاندر است، N ثابت بهنجارش است و θ و φ به ترتیب زاویه با محور z ( متمم عرض جغرافیایی ) و زاویهٔ قطبی ( طول جغرافیایی ) هستند.