قاعده کرامر

در جبر خطی، قاعده کرامر روشی صریحی برای حل دستگاه معادلات خطی ای که تعداد معادلات با تعداد مجهولات برابر و دستگاه جواب منحصر بفرد دارد، است. این روش از دترمینان های ماتریس ( مربع ) ضرایب و ماتریس هایی که از جایگزینی یکی از ستون های ماتریس ضرایب با بردار سمت راست معادله بدست می آید، تعریف می گردد. این روش به نام گابریل کرامر ( ۱۷۰۴–۱۷۵۲ ) که این روش را برای تعداد دلخواهی از مجهولات در سال ۱۷۵۰ منتشر کرد[ ۱] . اگرچه کولین مک لورین نیز در سال ۱۷۴۸ برای موارد خاص این روش را منتشر کرده بود[ ۲] ( و احتمالاً در ۱۷۲۹ نیز این روش شناخته شده بود ) . [ ۳] [ ۴] [ ۵]
دستگاهی با n معادله و n مجهول را نظر بگیرید، که بشکل ماتریسی زیر قابل نمایش است:
که در آن ماتریس A ، n در n و دترمینانش مخالف صفر و بردار x = ( x 1 , … , x n ) T بردار ستونی متغیرها است.
قضیه بیان می کند که در این حالت معادله جواب منحصر بفردی دارد، که مقدار متغیرهایش از رابطه زیر بدست می آید:
که در آن A i ماتریس حاصل از جایگذاری بردار ستونی b در ستون i ام A می باشد.
قاعده کرامر برای معادلات با ضرایب و مجهولات تنها برایاعداد حقیقی نیست و برای هرمیدان تعریف می گردد. اخیراً نشان داده شده است که قاعده کرامر را می توان در زمان O ( n 3 ) پیاده سازی کرد، [ ۶] که قابل مقایسه با سایر روش های رایج برای حل دستگاه معادلات خطی مانند روش حذفی گاوسی می باشد.
می دانیم که det ( A ) ≠ 0 پس بنا به خواص دترمینان، ماتریس A معکوس دارد. از معکوس داشتن A نتیجه می گیریم که معادله A x = b جواب منحصر بفرد A − 1 b را دارد. ( A ( A − 1 b ) = ( A A − 1 ) b = b )
برای هر عدد صحیح i , 1 ≤ i ≤ n a i را ستون iام ماتریس A و e i را ستون i ام ماتریس همانی I n در نظر بگیرید و X i را ماریسی که از جایگذاری بردار ستونی x در ستون iام ماتریس همانی بدست می آید، در نظر بگیرید.
می دانیم ستون kام حاصل ضرب A B برای هر ماتریس A , B ، از ضرب ماتریس A در ستون kام ماتریس B بدست می آید. پس به طور مشابه بدست می آید A e k = a k بازای k = 1 , … , n . بنابراین خواهیم داشت:
A X i = A ( e 1 , … , e i − 1 , x , e i + 1 , … , e n ) = ( A e 1 , … , A e i − 1 , A x , A e i + 1 , … , A e n ) = ( a 1 , … , a i − 1 , b , a i + 1 , … , a n ) = A i