فرمول دو مواور که با نام اتحاد دو مواور و قضیهٔ دو مواور نیز شناخته می شود، رابطه ای ریاضی است که به افتخار ابراهام دو مواور نامگذاری شده است و بیان می دارد که برای هر عدد حقیقی x و عدد صحیح n رابطهٔ زیر برقرار است:
که در آن i یکه موهومی ( i2 = −1 ) است. با این وجود که رابطه به نام دو مواور نامگذاری شده است، در کارهای او اثری از آن دیده نمی شود. [ ۱]
اهمیت این رابطه، ایجاد ارتباط میان اعداد مختلط و مثلثات است. می توان با بسط طرف چپ رابطه و مقایسهٔ بخش های حقیقی و موهومی با فرض حقیقی بودن x، عبارت های کاربردی برای cos ( nx ) و sin ( nx ) برحسب cos ( x ) و sin ( x ) استخراج کرد.
این فرمول برای توان های غیر صحیح برقرار نیست؛ ولی تعمیم هایی از آن برای نماهای دیگر وجود دارد. می توان از این تعمیم ها در به دست آوردن پاسخ صریح برای ریشه واحد مرتبه n ( ریشه های معادلهٔ zn = 1 ) استفاده کرد.
می توان فرمول دو مواور را به سادگی از فرمول اویلر استخراج کرد:
و طبق تعریف قانون نما برای توان های صحیح:
اکنون بر پایهٔ فرمول اویلر داریم:
با استفاده از استقرای ریاضی برای اعداد صحیح می توان درستی فرمول دو مواور را نشان داد و آن را به همهٔ اعداد صحیح بسط داد. برای عدد صحیح n عبارت S ( n ) را به صورت زیر تعریف می کنیم:
برای n بزرگتر از صفر بر پایهٔ استقرای ریاضی پیش می رویم. درستی S ( 1 ) بدیهی است. اکنون فرض می کنیم برای عدد صحیح k عبارت S ( k ) درست است. به سخن دیگر:
( cos x + i sin x ) k = cos k x + i sin k x .
سپس درستی S ( k + 1 ) را بررسی می کنیم.
فهرست اتحادهای مثلثاتی را ببینید.
بر پایهٔ اصل استقراء، درست بودن S ( k + 1 ) برحسب S ( k ) نشان می دهد که رابطه برای همه اعداد طبیعی درست است. درست بودن S ( 0 ) نیز بدیهی است، زیرا cos ( 0x ) + i sin ( 0x ) = 1 + 0i = 1. در نهایت، برای اعداد صحیح منفی نمای n - را برای عدد طبیعی n در نظر می گیریم:
معادلهٔ ( * ) نتیجهٔ اتحاد زیر است:
که در آن z = cos ( nx ) + i sin ( nx ) ؛ بنابراین S ( n ) برای همهٔ اعداد صحیح درست است.
در برابری اعداد مختلط، باید اجزای حقیقی و موهومی جداگانه با هم برابر باشند. اگر x ( و نیز کسینوس و سینوس آن ) عدد حقیقی باشد، می توان اتحاد این اجزاء را با استفاده از ضرایب دوجمله ای نوشت. فرانسوا ویت ( ریاضیدان فرانسوی سدهٔ شانزدهم ) این رابطه را ارائه داد:
این نوشته برگرفته از سایت ویکی پدیا می باشد، اگر نادرست یا توهین آمیز است، لطفا گزارش دهید: گزارش تخلفکه در آن i یکه موهومی ( i2 = −1 ) است. با این وجود که رابطه به نام دو مواور نامگذاری شده است، در کارهای او اثری از آن دیده نمی شود. [ ۱]
اهمیت این رابطه، ایجاد ارتباط میان اعداد مختلط و مثلثات است. می توان با بسط طرف چپ رابطه و مقایسهٔ بخش های حقیقی و موهومی با فرض حقیقی بودن x، عبارت های کاربردی برای cos ( nx ) و sin ( nx ) برحسب cos ( x ) و sin ( x ) استخراج کرد.
این فرمول برای توان های غیر صحیح برقرار نیست؛ ولی تعمیم هایی از آن برای نماهای دیگر وجود دارد. می توان از این تعمیم ها در به دست آوردن پاسخ صریح برای ریشه واحد مرتبه n ( ریشه های معادلهٔ zn = 1 ) استفاده کرد.
می توان فرمول دو مواور را به سادگی از فرمول اویلر استخراج کرد:
و طبق تعریف قانون نما برای توان های صحیح:
اکنون بر پایهٔ فرمول اویلر داریم:
با استفاده از استقرای ریاضی برای اعداد صحیح می توان درستی فرمول دو مواور را نشان داد و آن را به همهٔ اعداد صحیح بسط داد. برای عدد صحیح n عبارت S ( n ) را به صورت زیر تعریف می کنیم:
برای n بزرگتر از صفر بر پایهٔ استقرای ریاضی پیش می رویم. درستی S ( 1 ) بدیهی است. اکنون فرض می کنیم برای عدد صحیح k عبارت S ( k ) درست است. به سخن دیگر:
( cos x + i sin x ) k = cos k x + i sin k x .
سپس درستی S ( k + 1 ) را بررسی می کنیم.
فهرست اتحادهای مثلثاتی را ببینید.
بر پایهٔ اصل استقراء، درست بودن S ( k + 1 ) برحسب S ( k ) نشان می دهد که رابطه برای همه اعداد طبیعی درست است. درست بودن S ( 0 ) نیز بدیهی است، زیرا cos ( 0x ) + i sin ( 0x ) = 1 + 0i = 1. در نهایت، برای اعداد صحیح منفی نمای n - را برای عدد طبیعی n در نظر می گیریم:
معادلهٔ ( * ) نتیجهٔ اتحاد زیر است:
که در آن z = cos ( nx ) + i sin ( nx ) ؛ بنابراین S ( n ) برای همهٔ اعداد صحیح درست است.
در برابری اعداد مختلط، باید اجزای حقیقی و موهومی جداگانه با هم برابر باشند. اگر x ( و نیز کسینوس و سینوس آن ) عدد حقیقی باشد، می توان اتحاد این اجزاء را با استفاده از ضرایب دوجمله ای نوشت. فرانسوا ویت ( ریاضیدان فرانسوی سدهٔ شانزدهم ) این رابطه را ارائه داد:
wiki: فرمول دو مواور