حدس کولاتز

آیا دنباله کولاتز در نهایت با شروع از هر عدد طبیعی دلخواه به ۱ ختم می گردد؟
حدس کولاتز ( Collatz Conjecture ) ، حدسی در ریاضیات است که مربوط به دنباله ها بوده و به این صورت مطرح می گردد: از هر عدد طبیعی دلخواهی چون n شروع کنید، سپس هر جمله از جمله قبلی دنباله به این صورت بدست می آید: اگر جمله قبلی زوج بود، جمله بعدی نصف قبلی خواهد بود. اگر جمله قبلی فرد بود، جمله بعدی سه برابر جمله قبلی به علاوه ۱ خواهد شد. این حدس می گوید: مهم نیست که مقدار n چه باشد، در نهایت این دنباله همیشه به ۱ ختم خواهد شد.
این حدس را به نام لوتار کولاتز نامگذاری کرده اند که اولین بار ایده آن را در ۱۹۳۷ میلادی، دو سال پس از دریافت مدرک دکترایش معرفی نمود. [ ۱] همچنین این مسئله را به نام های زیر نیز می شناسند: مسئله 3 n + 1 ، حدس 3 n + 1 ، حدس اولام ( به یاد استنی سواف اولام ) ، مسئله کاکوتانی ( به یاد شیزو کاکوتانی ) ، حدس توایتس ( به یاد برایان توایتس ) ، الگوریتم هاسه ( به یاد هلموت هاسه ) یا مسئله سیراکوس. [ ۲] [ ۴] دنباله اعداد ظاهر شده در این حدس را برخی مواقع دنباله تگرگی یا اعداد تگرگی ( به این دلیل که مقادیرش اغلب همچون تگرگ درون یک ابر، چندین نزول و صعود دارند ) [ ۵] [ ۶] یا اعداد شگرف می نامند. [ ۷]
پاول اردوش در مورد حدس کولاتز گفت: «ممکن است ریاضیات برای چنین مسائلی هنوز آمادگی نداشته باشد. »[ ۸] همچنین او جایزه ۵۰۰ دلاری را برای جواب آن اعلام نمود. [ ۹] جفری لاگاریاس در ۲۰۱۰ بیان نمود که حدس کولاتز «مسئله ای است که دشواری عجیباً زیادی داشته و کاملاً از دسترس ریاضیات کنونی خارج است. »[ ۱۰]
• اگر عدد زوج بود، آن را بر ۲ تقسیم کن.
• اگر عدد فرد بود، آن را سه برابر کن و با ۱ جمع کن.
برای مثال، اگر عملیات روی ۳ انجام شود، نتیجه ۱۰ است و اگر روی ۲۴ اجرا شود نتیجه ۱۲ است. اگر بخواهیم این عملیات را به صورت تابعی ریاضی نشان دهیم به صورت زیر خواهد بود:
f ( n ) = { n / 2 if  n ≡ 0 ( mod 2 ) 3 n + 1 if  n ≡ 1 ( mod 2 ) . هم اکنون با اجرا کردن این عملیات بر روی یک دنباله از اعداد به طور متوالی با هر عدد صحیح مثبت، و گرفتن نتیجه به عنوان ورودی مرحله بعد: در حالی که:
حدس کولاتز به صورت زیر است:
این روند به صورت اتفاقی به عدد ۱ می رسد، صرف نظر از این که چه عددی به عنوان عدد اولیه انتخاب شده.