در حساب و نظریه اعداد، کوچکترین مضرب مشترک ( اختصاری ک. م. م ) ( به انگلیسی: Least Common Multiple ) ( اختصاری LCM ) از دو عدد صحیح a و b را اغلب به صورت ( LCM ( a, b نمایش داده که کوچکترین عدد صحیح مثبتی است که بر هردوی a و b بخش پذیر می باشد. [ ۱] [ ۲] [ ۳] از آنجا که تقسیم بر صفر تعریف نشده، تعریف ک. م. م. تنها زمانی معنادار است که a و b هردو مخالف صفر باشند. [ ۴] با اینحال، برخی از مؤلفان lcm ( a , 0 ) را برای تمام a ها برابر با صفر تعریف می کنند، به این دلیل که ک. م. م. را کوچکترین کران بالایی در مشبکه بخش پذیری تعریف می نمایند.
همچنین ک. م. م. را می توان آن قبل از جمع، تفریق یا مقایسه کسرها به کار برد. ک. م. م. بیش از دو عدد صحیح نیز خوش تعریف است: در این حالت ک. م. م. برابر با کوچکترین عدد صحیح مثبتی است که بر هرکدام از آن ها بخش پذیر باشد. [ ۲]
فرض کنید a 1 , a 2 , . . . , a n اعداد صحیح و ناصفر باشند. در میان مضرب های مشترک مثبت a 1 , a 2 , . . . , a n کوچکترین عدد را ( که بنا بر اصل خوش ترتیبی وجود دارد. ) کوچکترین مضرب مشترک a 1 , a 2 , . . . , a n می نامیم و آن را با نشان می دهیم.
اگر a 1 , a 2 , . . . , a n اعدادی صحیح و ناصفر باشند، هر مضرب مشترک آن ها بر بخش پذیر است.
برهان: اگر شکست در تجزیه ( پاسخ نامعتبر MathML همراه SVG یا PNG جایگزین ( توصیه شده برای مرورگرهای مدرن و ابزارهای کمکی ) ( " Math extension cannot connect to Restbase. " ) از سرور " http://localhost:6011/fa. wikipedia. org/v1/" : ) : {\displaystyle k} مضرب مشترکی از a 1 , a 2 , . . . , a n باشد، بنابر الگوریتم تقسیم اعدادی صحیح مانند q و r وجود دارند که
( ۱ ) k = q + r و 0 ≤ r <
از طرف دیگر a i | و a i | k برای هر 1 ≤ i ≤ n
بنابراین a i | r
یعنی r مضربی مشترک از a 1 , a 2 , . . . , a n است. در نتیجه اگر r > 0 ، آنگاه r ≥ ، که با نابرابری سمت راست ( ۱ ) تناقض دارد بنابراین r = 0 و k |
برای محاسبه ک. م. م. می توان همه اعداد را به عوامل اول تجزیه کرد. ک. م. م. برابر حاصل ضرب عوامل مشترک با توان بزرگتر و عوامل غیر مشترک می شود. همچنین می توان ک. م. م. را به کمک ب. م. م. تعریف نمود: از آنجا که ب م م دو عدد برابر با حاصل ضرب آنها تقسیم بر ک. م. م. آنها است، [ ۵] ک. م. م. دو عدد برابر با حاصل ضرب آنها تقسیم بر ب. م. م آنهاست:
این نوشته برگرفته از سایت ویکی پدیا می باشد، اگر نادرست یا توهین آمیز است، لطفا گزارش دهید: گزارش تخلفهمچنین ک. م. م. را می توان آن قبل از جمع، تفریق یا مقایسه کسرها به کار برد. ک. م. م. بیش از دو عدد صحیح نیز خوش تعریف است: در این حالت ک. م. م. برابر با کوچکترین عدد صحیح مثبتی است که بر هرکدام از آن ها بخش پذیر باشد. [ ۲]
فرض کنید a 1 , a 2 , . . . , a n اعداد صحیح و ناصفر باشند. در میان مضرب های مشترک مثبت a 1 , a 2 , . . . , a n کوچکترین عدد را ( که بنا بر اصل خوش ترتیبی وجود دارد. ) کوچکترین مضرب مشترک a 1 , a 2 , . . . , a n می نامیم و آن را با نشان می دهیم.
اگر a 1 , a 2 , . . . , a n اعدادی صحیح و ناصفر باشند، هر مضرب مشترک آن ها بر بخش پذیر است.
برهان: اگر شکست در تجزیه ( پاسخ نامعتبر MathML همراه SVG یا PNG جایگزین ( توصیه شده برای مرورگرهای مدرن و ابزارهای کمکی ) ( " Math extension cannot connect to Restbase. " ) از سرور " http://localhost:6011/fa. wikipedia. org/v1/" : ) : {\displaystyle k} مضرب مشترکی از a 1 , a 2 , . . . , a n باشد، بنابر الگوریتم تقسیم اعدادی صحیح مانند q و r وجود دارند که
( ۱ ) k = q + r و 0 ≤ r <
از طرف دیگر a i | و a i | k برای هر 1 ≤ i ≤ n
بنابراین a i | r
یعنی r مضربی مشترک از a 1 , a 2 , . . . , a n است. در نتیجه اگر r > 0 ، آنگاه r ≥ ، که با نابرابری سمت راست ( ۱ ) تناقض دارد بنابراین r = 0 و k |
برای محاسبه ک. م. م. می توان همه اعداد را به عوامل اول تجزیه کرد. ک. م. م. برابر حاصل ضرب عوامل مشترک با توان بزرگتر و عوامل غیر مشترک می شود. همچنین می توان ک. م. م. را به کمک ب. م. م. تعریف نمود: از آنجا که ب م م دو عدد برابر با حاصل ضرب آنها تقسیم بر ک. م. م. آنها است، [ ۵] ک. م. م. دو عدد برابر با حاصل ضرب آنها تقسیم بر ب. م. م آنهاست:
wiki: کوچک ترین مضرب مشترک