در هندسه اقلیدسی، یک چندضلعی منتظم، چندضلعی است که همه زوایا و اضلاع آن هم اندازه اند.
چندضلعی های منتظم، می توانند کوژ یا به شکل ستاره باشند. در حالت حدی، یک دنباله از چندضلعی های منتظم با افزایش تعداد اضلاع، در صورت ثابت ماندن محیط به دایره تبدیل می شود و در صورت ثابت ماندن طول ضلع، به apeirogon تبدیل می شود.
ویژگی های بیان شده در ادامه، برای همهٔ چندضلعی های منتظم ( اعم از کوژ و ستاره ای ) برقرار است.
یک چندضلعی منتظم n - ضلعی، تقارن چرخشی از مرتبهٔ n دارد.
همهٔ رأس های یک چندضلعی منتظم بر روی یک دایره ( دایره محیطی ) قرار می گیرند. به عبارت دیگر، رأس ها نقاطی هم دایره هستند. یعنی یک چندضلعی منتظم، لزوماً یک چندضلعی دایره ای هم هست.
هر چندضلعی منتظم، یک دایره محاطی دارد که به همه اضلاع در نقطهٔ وسط آنها مماس است. بنابراین هر چندضلعی منتظم، لزوماً یک چندضلعی مماسی هم هست.
یک n - ضلعی منتظم با استفاده از خط کش و پرگار قابل ترسیم است؛ اگر و تنها اگر فاکتورهای اول فرد n، اعداد اول فرمای متفاوتی باشند.
چندضلعی های منتظم محیطی، بیشترین مساحت را در دایره دارند. به عنوان مثال بین همه ی سه ضلعی های محیطی در یک دایره مثلث متساوی الاضلاع و در بین همه ی چهار ضلعی های محیطی در یک دایره مربع بیشترین مساحت را دارد.
همهٔ چندضلعی های سادهٔ منتظم، کوژ هستند. چندضلعی های منتظم باتعداد اضلاع یکسان، متشابه هستند. یک n - ضلعی منتظم کوژ، با نماد شلفلی {n} نشان داده می شود.
برای یک n - ضلعی منتظم کوژ، اندازهٔ هر زاویهٔ داخلی برابر است با:
یا ( n − 2 ) π n رادیان
و اندازهٔ هر زاویه خارجی آن برابر است با 360 n درجه.
برای n > ۲، تعداد قطرهای n - ضلعی، برابر است با n ( n − 3 ) 2 ، به عنوان مثال برای مثلث، چهارضلعی، پنج ضلعی و شش ضلعی، تعداد قطرها به ترتیب، ۰، ۲، ۵ و ۹ است.
برای یک n - ضلعی منتظم محاط شده در یک دایره به شعاع واحد، حاصل ضرب فاصلهٔ هر رأس تا همهٔ رأس های دیگر، برابر است با n.
مساحت یک n - ضلعی منتظم کوژ با اندازهٔ ضلع a، شعاع دایره محیطی R، شعاع دایره محاطی r و محیط p با استفاده از روابط زیر بدست می آید:[ ۱] [ ۲]
( زوایا برحسب رادیان است. )
که در آن R برابر است با:
مساحت یک چندضلعی منتظم با طول ضلع ۱، شعاع دایره محیطی ۱، شعاع دایره محاطی ۱ در جدول زیر ارائه شده است:
این نوشته برگرفته از سایت ویکی پدیا می باشد، اگر نادرست یا توهین آمیز است، لطفا گزارش دهید: گزارش تخلفچندضلعی های منتظم، می توانند کوژ یا به شکل ستاره باشند. در حالت حدی، یک دنباله از چندضلعی های منتظم با افزایش تعداد اضلاع، در صورت ثابت ماندن محیط به دایره تبدیل می شود و در صورت ثابت ماندن طول ضلع، به apeirogon تبدیل می شود.
ویژگی های بیان شده در ادامه، برای همهٔ چندضلعی های منتظم ( اعم از کوژ و ستاره ای ) برقرار است.
یک چندضلعی منتظم n - ضلعی، تقارن چرخشی از مرتبهٔ n دارد.
همهٔ رأس های یک چندضلعی منتظم بر روی یک دایره ( دایره محیطی ) قرار می گیرند. به عبارت دیگر، رأس ها نقاطی هم دایره هستند. یعنی یک چندضلعی منتظم، لزوماً یک چندضلعی دایره ای هم هست.
هر چندضلعی منتظم، یک دایره محاطی دارد که به همه اضلاع در نقطهٔ وسط آنها مماس است. بنابراین هر چندضلعی منتظم، لزوماً یک چندضلعی مماسی هم هست.
یک n - ضلعی منتظم با استفاده از خط کش و پرگار قابل ترسیم است؛ اگر و تنها اگر فاکتورهای اول فرد n، اعداد اول فرمای متفاوتی باشند.
چندضلعی های منتظم محیطی، بیشترین مساحت را در دایره دارند. به عنوان مثال بین همه ی سه ضلعی های محیطی در یک دایره مثلث متساوی الاضلاع و در بین همه ی چهار ضلعی های محیطی در یک دایره مربع بیشترین مساحت را دارد.
همهٔ چندضلعی های سادهٔ منتظم، کوژ هستند. چندضلعی های منتظم باتعداد اضلاع یکسان، متشابه هستند. یک n - ضلعی منتظم کوژ، با نماد شلفلی {n} نشان داده می شود.
برای یک n - ضلعی منتظم کوژ، اندازهٔ هر زاویهٔ داخلی برابر است با:
یا ( n − 2 ) π n رادیان
و اندازهٔ هر زاویه خارجی آن برابر است با 360 n درجه.
برای n > ۲، تعداد قطرهای n - ضلعی، برابر است با n ( n − 3 ) 2 ، به عنوان مثال برای مثلث، چهارضلعی، پنج ضلعی و شش ضلعی، تعداد قطرها به ترتیب، ۰، ۲، ۵ و ۹ است.
برای یک n - ضلعی منتظم محاط شده در یک دایره به شعاع واحد، حاصل ضرب فاصلهٔ هر رأس تا همهٔ رأس های دیگر، برابر است با n.
مساحت یک n - ضلعی منتظم کوژ با اندازهٔ ضلع a، شعاع دایره محیطی R، شعاع دایره محاطی r و محیط p با استفاده از روابط زیر بدست می آید:[ ۱] [ ۲]
( زوایا برحسب رادیان است. )
که در آن R برابر است با:
مساحت یک چندضلعی منتظم با طول ضلع ۱، شعاع دایره محیطی ۱، شعاع دایره محاطی ۱ در جدول زیر ارائه شده است:
wiki: چندضلعی منتظم