در نظریه احتمالات، احتمال یک پیشامد ( اگر پیشامد را A درنظر بگیریم و n تعداد اعضای هر مجموعه باشد ) بصورت P ( A ) = n ( A ) n ( S ) نمایش داده می شود که S درواقع فضای نمونه خواهد بود. برای مثال در پرتاب یک تاس اگر بخواهیم احتمال آمدن عدد 2 را محاسبه کنیم خواهیم داشت:
A = { 1 }
S = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }
P ( A ) = n ( A ) n ( S ) = 1 6
حال اگر A را یک پیشامد از مجموعه مرجع M فرض کنیم، مجموعه مکمل A نیز یک پیشامد از M است به طوری که هر عنصری که در مجموعه مرجع قرار دارد و عضو A نیست، عضو مکمل A باشد که آن را پیشامد مکمل A می نامیم. به طور کلی هر پیشامدی از مجموعه مرجع، یک پیشامد مکمل منحصر به فرد دارد؛ مثلاً A تنها یک پیشامد مکمل مانند B دارد که A و B با هم هیچ اشتراکی ندارند یا به عبارتی A ∩ B = ∅ .
برای مثال یک تاس همگن را در نظر بگیرید.
« نکته: تاس همگن تاسی ست که احتمال آمدن هر وجه آن با سایر وجوه برابر باشد. »
مجموعه مرجع تاس همگن برابر با {۱, ۲, ۳, ۴, ۵, ۶} است. پیشامد A را احتمال رخداد مجموعه {۵, ۶} تعریف می کنیم. مکمل A برابر با مجموعه {۱, ۲, ۳, ۴} خواهد بود.
اگر بدانیم پیشامد B و C، پیشامد مکمل رویداد A هستند، از آنجایی که هر رویداد تنها یک مکمل دارد، می توانیم نتیجه بگیریم که پیشامدهای B و C هر دو به یک پیشامد اشاره دارند. پیشامد مکمل A را می توان با نمادهای 'A یا Ā یا A c نمایش داد.
در شکل زیر رویداد مکمل را به کمک نمودار ون نمایش داده ایم. قسمت مشکی رنگ نمایشگر رخداد A و قسمت های بنفش شامل رخداد 'A است؛ هردوی این رخدادها در مجموعه خاکستری رنگ M ( مجموعه مرجع ) قرار گرفته اند و آن را به طور کامل پوشش داده اند.
می دانیم احتمالی که می توان برای هر پیشامد درنظر گرفت درصورت کمینه بودن برابر صفر و درصورت بیشینه بودن برابر یک است و نهایتاً مقداری که هر احتمال می تواند داشته باشد بین صفر و یک خواهد بود.
قانون پیشامد مکمل بیان می کند که مجموع احتمال وقوع هر رویداد، با احتمال وقوع مکمل آن رویداد که در مجموعه مرجع وجود دارد برابر با ۱ است.
P ( A ) + P ( A ′ ) = 1
گاهی اوقات، محاسبه مکمل یک رویداد، راه ساده تری نسبت به محاسبه احتمال خود رویداد است. در این مواقع از قانون پیشامد مکمل کمک می گیریم و با محاسبه احتمال اتفاق افتادن مکمل آن رویداد، احتمال مطلوب را بدست می آوریم. با توجه به تساوی ای که در رابطه فوق داشتیم می توان نوشت:
این نوشته برگرفته از سایت ویکی پدیا می باشد، اگر نادرست یا توهین آمیز است، لطفا گزارش دهید: گزارش تخلفA = { 1 }
S = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }
P ( A ) = n ( A ) n ( S ) = 1 6
حال اگر A را یک پیشامد از مجموعه مرجع M فرض کنیم، مجموعه مکمل A نیز یک پیشامد از M است به طوری که هر عنصری که در مجموعه مرجع قرار دارد و عضو A نیست، عضو مکمل A باشد که آن را پیشامد مکمل A می نامیم. به طور کلی هر پیشامدی از مجموعه مرجع، یک پیشامد مکمل منحصر به فرد دارد؛ مثلاً A تنها یک پیشامد مکمل مانند B دارد که A و B با هم هیچ اشتراکی ندارند یا به عبارتی A ∩ B = ∅ .
برای مثال یک تاس همگن را در نظر بگیرید.
« نکته: تاس همگن تاسی ست که احتمال آمدن هر وجه آن با سایر وجوه برابر باشد. »
مجموعه مرجع تاس همگن برابر با {۱, ۲, ۳, ۴, ۵, ۶} است. پیشامد A را احتمال رخداد مجموعه {۵, ۶} تعریف می کنیم. مکمل A برابر با مجموعه {۱, ۲, ۳, ۴} خواهد بود.
اگر بدانیم پیشامد B و C، پیشامد مکمل رویداد A هستند، از آنجایی که هر رویداد تنها یک مکمل دارد، می توانیم نتیجه بگیریم که پیشامدهای B و C هر دو به یک پیشامد اشاره دارند. پیشامد مکمل A را می توان با نمادهای 'A یا Ā یا A c نمایش داد.
در شکل زیر رویداد مکمل را به کمک نمودار ون نمایش داده ایم. قسمت مشکی رنگ نمایشگر رخداد A و قسمت های بنفش شامل رخداد 'A است؛ هردوی این رخدادها در مجموعه خاکستری رنگ M ( مجموعه مرجع ) قرار گرفته اند و آن را به طور کامل پوشش داده اند.
می دانیم احتمالی که می توان برای هر پیشامد درنظر گرفت درصورت کمینه بودن برابر صفر و درصورت بیشینه بودن برابر یک است و نهایتاً مقداری که هر احتمال می تواند داشته باشد بین صفر و یک خواهد بود.
قانون پیشامد مکمل بیان می کند که مجموع احتمال وقوع هر رویداد، با احتمال وقوع مکمل آن رویداد که در مجموعه مرجع وجود دارد برابر با ۱ است.
P ( A ) + P ( A ′ ) = 1
گاهی اوقات، محاسبه مکمل یک رویداد، راه ساده تری نسبت به محاسبه احتمال خود رویداد است. در این مواقع از قانون پیشامد مکمل کمک می گیریم و با محاسبه احتمال اتفاق افتادن مکمل آن رویداد، احتمال مطلوب را بدست می آوریم. با توجه به تساوی ای که در رابطه فوق داشتیم می توان نوشت:
wiki: پیشامد مکمل