وتر دایره

وتر یک دایره پاره خط راستی است که هر دو انتهای آن روی محیط دایره قرار دارند. یک خط قاطع، امتداد نامتناهی یک وتر دایره است. با تعمیم، وتر به معنای پاره خطی که دو نقطه روی هر منحنی ای ( مثلاً بیضی ) را به هم متصل می کند. وتری که از مرکز یک دایره بگذرد، یک قطر آن دایره است.
تعدادی از ویژگی های مربوط به دایره به شرح زیر هستند:
• همهٔ وترهای هم فاصله از مرکز دایره، هم اندازه هستند.
• وتری که از مرکز دایره بگذرد دارای طول بیشینه است و قطر نامیده می شود.
• اگر امتداد ( خطوط قاطع ) دو وتر AB و CD در نقطه P به هم برسند، آن گاه رابطه AP·PB = CP·PD در مورد طول پاره خط ها برقرار خواهد بود. ( مقدار AP·PB قوت نقطه P نسبت به این دایره است ) .
مساحتی که یک وتر از دایره جدا می کند یک قطعه دایره نام دارد.
نقطه های میانی تعدادی از وترهای موازی یک بیضی هم خط هستند.
وترهای به طور گسترده ای در مراحل ابتدایی مثلثات مورد استفاده بودند. در نخستین جدول مثلثاتی شناخته شده که هیپارخوس آن را گردآوری کرده، مقادیر تابع وتر برای هر ۷٫۵ درجه مشخص شده است. در قرن دوم میلادی بطلمیوس اسکندرانی جدول جامع تری از مقادیر تابع وتر در کتاب خود در نجوم ارائه کرد. در جدول بطلمیوس، مقدار وتر هر زاویه ای در بازه ۱/۲ درجه تا ۱۸۰ درجه با فواصل یک و نیم درجه ای آمده است. بطلمیوس به جای دایره واحد از دایره ای به قطر ۱۲۰ استفاده کرده و دقت مقادیر تابع وتر هم تا رقم دوم مبنای ۶۰ ( ثانیه ) بعد از اعشار است.
تعریف هندسی تابع وتر در تصویر نشان داده شده است. مقدار وتر یک زاویه، طول وتری است که این زاویه از دایره واحد جدا می کند. تابع وتر را می توان با کمک قضیه فیثاغورس به تابع مثلثاتی مدرن سینوس مرتبط کرد. کافی است نقطه های ( ۰، ۱ ) و ( cos θ, sin θ ) را در نظر گرفته و فاصله آن ها را حساب کنیم تا طول وتر مورد نظر را به دست آوریم:
در آخرین مرحله از اتحاد زاویه دو برابر استفاده شده است. همان طور که مثلثات مدرن بر مبنای تابع سینوس بنا شده است، مثلثات عهد باستان هم بر اساس تابع وتر ساخته شده بود. هیپارخوس مدعی است که کتابی دوازده جلدی دربارهٔ وترها نوشته است اما این اثر هم اکنون در دسترس نیست. ادعای هیپارخوس نشان می دهد که او احتمالاً بسیاری از ویژگی های وترها را می شناخته است. اتحادهایی شبیه اتحادهای مثلثاتی مدرن برای تابع وتر وجود دارد: