نظریه تحلیلی اعداد

در ریاضیات، نظریهٔ تحلیلی اعداد ( به انگلیسی: Analytic Number Theory ) شاخه ای از ریاضیات است که از روش های آنالیز ریاضی برای حل مسائل مربوط به اعداد صحیح بهره می برد. [ ۱] اغلب گفته می شود که این شاخه با کارهای پیتر گوستاو لژیونه دیریکله در ۱۸۳۷ و با معرفی L - توابع دیریکله شروع شده است. او از این توابع برای ارائه اولین اثبات قضیه دیریکله روی تصاعدهای حسابی سود جست. [ ۱] [ ۲] معروف ترین نتیجه در این شاخه، نتایج و بحث هایی است که در ارتباط با اعداد اول ( مثل قضیه اعداد اول و تابع زتای ریمان ) و نظریه جمعی اعداد ( مثل حدس گلدباخ و مسئله وارینگ ) مطرح شده اند.
نظریهٔ تحلیلی اعداد را می توان به دو بخش عمده تقسیم بندی کرد که این تقسیم بندی بر اساس سرشت مسائلی هست که هر بخش با آن درگیر است و فنونی که در هر بخش استفاده می شود با دیگری لزوماً تفاوت بنیادینی ندارند:
• نظریه ضربی اعداد با توزیع اعداد اول سروکار دارد، مثل تخمین تعداد اعداد اول موجود در یک بازه خاص. مباحثی مثل قضیه اعداد اول و قضیه دیریکله روی اعداد اول یک دنباله حسابی در این دسته قرار می گیرند.
• نظریه جمعی اعداد که دغدغه فهم ساختار جمعی اعداد صحیح را دارد. مباحثی چون حدس گلدباخ که می گوید هر عدد زوج بزرگتر از ۲ را می توان به صورت جمع دو عدد اول نوشت در این قسمت قرار می گیرند. یکی از نتایج اصلی نظریه جمعی اعداد مسئله وارینگ است.