در جبر خطی، یک بردارویژه ( به انگلیسی: Eigenvector، /ˈaɪɡənˌvɛktər/ ) یا بردار مشخصه یک تبدیل خطی، یک بردار ناصفر است که وقتی آن تبدیل خطی رویش اعمال شود، حاصل برابر اسکالری ضرب در آن بردار خواهد بود ( این کار باعث تغییر مقیاس، یا تغییر اندازه بردار می شود، ولی راستا آن را تغییر نمی دهد ) . مقدارویژه ( به انگلیسی: Eigenvalue ) متناظر با یک بردار ویژه که اغلب به صورت λ [ ۱] نشان داده می شود، همان اسکالری است که در توصیف بردار ویژه ضرب شد.
از نظر هندسی، یک بردارویژه متناظر با یک مقدارویژه حقیقی ناصفر، به سمتی اشاره می کند که توسط تبدیل خطی مورد نظر کشیده می شود، همچنین مقدارویژه متناظر با این بردار ویژه نیز فاکتوری است که توسط آن کشیدگی صورت گرفته. اگر مقدارویژه منفی باشد، جهت برعکس می شود. [ ۲] به بیان نادقیق، در فضای برداری چند بعدی، بردارویژه دوران نمی کند.
اگر T یک تبدیل خطی از فضای برداری V به خودش، روی میدانی چون F باشد، و v یک بردار ناصفر در V باشد، آنگاه v یک بردارویژه T است اگر T ( v ) ضریب اسکالری از v باشد. بدین شکل:
که در آن λ یک اسکالر در F است که به آن مقدارویژه، مقدار مشخصه یا ریشه مشخصه متناظر با v نیز می گویند.
برای یک پایه خاص، تناظر مستقیمی بین ماتریس های مربعی n - در - n و تبدیلات خطی از یک فضای برداری n - بعدی به خودش وجود دارد. ازین رو، در یک فضای برداری متناهی - بعدی، به طور معادل می توان مقادیر و بردار ویژه ها را با استفاده از زبان ماتریس ها یا زبان تبدیلات خطی توصیف نمود. [ ۳] [ ۴]
اگر V یک فضای برداری متناهی - بعدی باشد، تعریف فوق معادل است با:[ ۵]
که در آن A نمایش ماتریسی T و u بردار مختصاتی v است.
مقدارویژه و بردارویژه اغلب در تحلیل تبدیلات خطی بروز پیدا می کنند. پیشوند انگلیسی - eigen در انگلیسی از کلمه eigen آلمانی گرفته شده ( هم خانواده با کلمه انگلیسی own ) که در آلمانی به معنای «مناسب»، «مشخصه»، «خود» می باشد. [ ۶] [ ۷] در اصل، از این مفاهیم جهت مطالعه محورهای اصلی دوران اجسام صلب استفاده می شد، اما بعد کاربردهای گسترده تری چون این موارد پیدا کردند: تحلیل پایداری، تحلیل ارتعاش، اوربیتال های اتمی، تشخیص چهره و قطری سازی ماتریس.
اساساً بردار ویژه ای چون v از یک تبدیل خطی T ، برداری ناصفر است با این ویژگی که اگر T بر آن اعمال شود، تغییر راستا ندهد. اعمال T به بردارویژه مورد نظر، تنها مقیاس بردار ویژه را به نسبت λ تغییر می دهد ( یعنی طول آن را تغییر می دهد ) ، به λ مقدارویژهٔ بردارویژه v گویند. این شرط را می توان با معادله زیر بیان کرد:
این نوشته برگرفته از سایت ویکی پدیا می باشد، اگر نادرست یا توهین آمیز است، لطفا گزارش دهید: گزارش تخلفاز نظر هندسی، یک بردارویژه متناظر با یک مقدارویژه حقیقی ناصفر، به سمتی اشاره می کند که توسط تبدیل خطی مورد نظر کشیده می شود، همچنین مقدارویژه متناظر با این بردار ویژه نیز فاکتوری است که توسط آن کشیدگی صورت گرفته. اگر مقدارویژه منفی باشد، جهت برعکس می شود. [ ۲] به بیان نادقیق، در فضای برداری چند بعدی، بردارویژه دوران نمی کند.
اگر T یک تبدیل خطی از فضای برداری V به خودش، روی میدانی چون F باشد، و v یک بردار ناصفر در V باشد، آنگاه v یک بردارویژه T است اگر T ( v ) ضریب اسکالری از v باشد. بدین شکل:
که در آن λ یک اسکالر در F است که به آن مقدارویژه، مقدار مشخصه یا ریشه مشخصه متناظر با v نیز می گویند.
برای یک پایه خاص، تناظر مستقیمی بین ماتریس های مربعی n - در - n و تبدیلات خطی از یک فضای برداری n - بعدی به خودش وجود دارد. ازین رو، در یک فضای برداری متناهی - بعدی، به طور معادل می توان مقادیر و بردار ویژه ها را با استفاده از زبان ماتریس ها یا زبان تبدیلات خطی توصیف نمود. [ ۳] [ ۴]
اگر V یک فضای برداری متناهی - بعدی باشد، تعریف فوق معادل است با:[ ۵]
که در آن A نمایش ماتریسی T و u بردار مختصاتی v است.
مقدارویژه و بردارویژه اغلب در تحلیل تبدیلات خطی بروز پیدا می کنند. پیشوند انگلیسی - eigen در انگلیسی از کلمه eigen آلمانی گرفته شده ( هم خانواده با کلمه انگلیسی own ) که در آلمانی به معنای «مناسب»، «مشخصه»، «خود» می باشد. [ ۶] [ ۷] در اصل، از این مفاهیم جهت مطالعه محورهای اصلی دوران اجسام صلب استفاده می شد، اما بعد کاربردهای گسترده تری چون این موارد پیدا کردند: تحلیل پایداری، تحلیل ارتعاش، اوربیتال های اتمی، تشخیص چهره و قطری سازی ماتریس.
اساساً بردار ویژه ای چون v از یک تبدیل خطی T ، برداری ناصفر است با این ویژگی که اگر T بر آن اعمال شود، تغییر راستا ندهد. اعمال T به بردارویژه مورد نظر، تنها مقیاس بردار ویژه را به نسبت λ تغییر می دهد ( یعنی طول آن را تغییر می دهد ) ، به λ مقدارویژهٔ بردارویژه v گویند. این شرط را می توان با معادله زیر بیان کرد:
wiki: مقدارویژه و بردارویژه