پیشامدهای مستقل ( به انگلیسی: independent events ) ، در حالت کلی اگر ( P ( A│B برابر با ( P ( A باشد، پیشامد A از پیشامد B مستقل است. می توان گفت زمانی که دانستن این که B اتفاق افتاده یا نیفتاده تأثیری در احتمال وقوع پیشامد A نداشته باشد این دو پیشامد مستقل هستند. چون P ( A | B ) = P ( A B ) P ( B ) پس A و B مستقلند اگر
نتیجه: دو پیشامد A و B مستقلند هرگاه رابطهٔ بالا برقرار باشد. دوپیشامد را که مستقل نباشند، وابسته می گویند. از طرفی اگر A و B مستقل باشند، A و B^c نیز مستقل هستند. اثبات: A=AB∪AB^c→P ( A ) =P ( AB ) +P ( AB^c ) =P ( A ) P ( B ) +P ( AB^c ) از طرفی P ( AB^c ) =P ( A ) =P ( A ) P ( B^c ) و مطلب مورد نظر ثابت می شود.
بنابراین اگر A مستقل از B باشد احتمال وقوع A با داشتن اطلاع از عدم وقوعB هیچ تغییری نمی کند.
توجه: سه پیشامد A, B و C مستقلند اگر:
P ( A B C ) = P ( A ) P ( B ) P ( C )
P ( A B ) = P ( A ) P ( B )
P ( A C ) = P ( A ) P ( C )
P ( B C ) = P ( B ) P ( C )
توجه: یک مجموعه نامتناهی از پیشامدها را مستقل گویند اگر هر زیرمجموعه متناهی از آن ها مستقل باشند.
گاهی برای محاسبهٔ احتمال یک آزمایش، می توان آن آزمایش را متشکل از دنباله ای از آزمایش ها در نظر گرفت. به طور مثال آزمایش پرتاب متوالی یک سکه را می توان تکرار آزمایش پرتاب یک سکه در نظر گرفت و بدیهی است که نتیجهٔ یک آزمایش در نتیجهٔ آزمایش دیگر هیچ تأثیری ندارد. در این شرایط گفته می شود که این زیر آزمایش ها مستقل هستند.
تعریف: زیر آزمایش ها مستقلند اگر E1، E2، . . . ، En، … لزوماً دنباله ای از پیشامدهای مستقل باشند. Ei پیشامدی است که نتیجه آن در ارتباط با آزمایش iام حاصل شود. [ ۱]
متغیرهای تصادفی X , Y مستقل نامیده می شوند اگر و تنها اگر رابطهٔ زیر برقرار باشد
و یا اینکه
که در اینجا f X ( x ) , f Y ( y ) به معنی تابع چگالی احتمال و F X ( x ) , F Y ( y ) به معنی تابع توزیع تجمعی احتمال است. [ ۲]
یک پیشامد در صورتی از خودش مستقل است که داشته باشیم:
P ( A ) = P ( A ∩ A ) = P ( A ) ⋅ P ( A ) ⇔ P ( A ) = 0 or 1
بنابراین یک پیشامد در صورتی از خودش مستقل است که به طور قطع بدانیم که اتفاق می افتد ( با احتمال ۱ ) یا به طور قطع اتفاق نمی افتد ( با احتمال ۰ ) . این خصوصیت در بعضی اثبات ها ( ] ) استفاده می شود.
این نوشته برگرفته از سایت ویکی پدیا می باشد، اگر نادرست یا توهین آمیز است، لطفا گزارش دهید: گزارش تخلفنتیجه: دو پیشامد A و B مستقلند هرگاه رابطهٔ بالا برقرار باشد. دوپیشامد را که مستقل نباشند، وابسته می گویند. از طرفی اگر A و B مستقل باشند، A و B^c نیز مستقل هستند. اثبات: A=AB∪AB^c→P ( A ) =P ( AB ) +P ( AB^c ) =P ( A ) P ( B ) +P ( AB^c ) از طرفی P ( AB^c ) =P ( A ) =P ( A ) P ( B^c ) و مطلب مورد نظر ثابت می شود.
بنابراین اگر A مستقل از B باشد احتمال وقوع A با داشتن اطلاع از عدم وقوعB هیچ تغییری نمی کند.
توجه: سه پیشامد A, B و C مستقلند اگر:
P ( A B C ) = P ( A ) P ( B ) P ( C )
P ( A B ) = P ( A ) P ( B )
P ( A C ) = P ( A ) P ( C )
P ( B C ) = P ( B ) P ( C )
توجه: یک مجموعه نامتناهی از پیشامدها را مستقل گویند اگر هر زیرمجموعه متناهی از آن ها مستقل باشند.
گاهی برای محاسبهٔ احتمال یک آزمایش، می توان آن آزمایش را متشکل از دنباله ای از آزمایش ها در نظر گرفت. به طور مثال آزمایش پرتاب متوالی یک سکه را می توان تکرار آزمایش پرتاب یک سکه در نظر گرفت و بدیهی است که نتیجهٔ یک آزمایش در نتیجهٔ آزمایش دیگر هیچ تأثیری ندارد. در این شرایط گفته می شود که این زیر آزمایش ها مستقل هستند.
تعریف: زیر آزمایش ها مستقلند اگر E1، E2، . . . ، En، … لزوماً دنباله ای از پیشامدهای مستقل باشند. Ei پیشامدی است که نتیجه آن در ارتباط با آزمایش iام حاصل شود. [ ۱]
متغیرهای تصادفی X , Y مستقل نامیده می شوند اگر و تنها اگر رابطهٔ زیر برقرار باشد
و یا اینکه
که در اینجا f X ( x ) , f Y ( y ) به معنی تابع چگالی احتمال و F X ( x ) , F Y ( y ) به معنی تابع توزیع تجمعی احتمال است. [ ۲]
یک پیشامد در صورتی از خودش مستقل است که داشته باشیم:
P ( A ) = P ( A ∩ A ) = P ( A ) ⋅ P ( A ) ⇔ P ( A ) = 0 or 1
بنابراین یک پیشامد در صورتی از خودش مستقل است که به طور قطع بدانیم که اتفاق می افتد ( با احتمال ۱ ) یا به طور قطع اتفاق نمی افتد ( با احتمال ۰ ) . این خصوصیت در بعضی اثبات ها ( ] ) استفاده می شود.
wiki: متغیر تصادفی مستقل