ضرایب لاگرانژ، نام روشی است در بهینه سازی برای یافتن بیشینه و کمینه موضعی برای توابع با داشتن یک یا چند قید برابری. این روش به افتخار ژوزف لویی لاگرانژ به این نام نام گذاری شده است.
به عنوان مثال در شکل ۱ مسئله بهینه سازی را به صورت زیر در نظر بگیرید.
Maximize f ( x, y )
Subject to
g ( x, y ) =c
که می توان تابع داده شده را به صورت زیر نوشت f ( x, y ) =d
برای تمام نقاط مختلف از d و مسیر g که با g ( x, y ) =c داده شده اند، فرض کنیم که در طول مسیر g=c در حال قدم زدن هستیم که مسیرهای f و g می توانند کاملاً متفاوت باشند؛ بنابراین ادامه دادن از مسیر g می تواند مسیر f را قطع یا از آن عبور کند ( مماس ) . زمانیکه بردار مماس f و g موازی باشند این دو مسیر برهم مماس می شوند و در این حالت گرادیان آن ها بر دو مسیر عمود می شوند؛ و این مانند این گفته است که بگوییم گرادیان آن ها با هم موازی باشد؛ بنابراین ما نقطه ای مانند ( x, y ) می خواهیم جایی که g ( x, y ) =c و
∇_ ( x, y ) f= - λ. ∇_ ( x, y ) g
که در آن
∇_ ( x, y ) f= ( ∂f/∂x، ∂f/∂y ) ، ∇ ( x, y ) g= ( ∂g/∂x، ∂g/∂y )
شیب های مربوطه می باشند. در اینجا به ضریب λ نیاز است زیرا هرچند که هر دو بردار گرادیان موازی هستند ولی الزاماً اندازه آن ها باهم برابر نیست. با ترکیب کردن معادلات بالا در یک معادله واحد معادله کمکی زیر را بدست می آوریم.
ᴧ ( x, y، λ ) =f ( x, y ) +λ. ( g ( x, y ) - c )
و معادله زیر را حل می کنیم.
∇_ ( x, y، λ ) ᴧ ( x, y، λ ) =۰
که روش ضرایب لاگرانژ می باشد. توجه شود که ∇_λ ᴧ ( x, y، λ ) =۰ دلالت بر g ( x, y ) =c می کند.
مثال:
با استفاده از روش لاگرانژ بیشترین مقدار تابع f ( x، y ) =x+y را تحت شرایط x^2+y^2=0. 5 بدست آورید. حل: با استفاده از فرمول روش لاگرانژ داریم
ᴧ ( x, y, λ ) =f ( x, y ) +λ. ( g ( x, y ) - c ) =x+y+λ. ( x^2+y^2 - 0. 5 ) ᴧ ( x, y, λ ) =x+y+λ. ( x^2+y^2 - 0. 5
با مساوی صفر قرار دادن ∂ᴧ=۰ دستگاه معادلات خطی زیر حاصل می شود.
∂ᴧ/∂x = ۱+۲ λx =0 ( i )
∂ᴧ/∂y = ۱+۲ λy =0 ( ii )
∂ᴧ/∂λ =x^2+y^2 - 0. 5=0 ( iii )
با ترکیب دو معادله ( i ) و ( ii ) و حل آن ها نتیجه می شود x=y و با جایگذاری در معادله سوم خواهیم داشت.
x^2+y^2 - 0. 5=0 ( x=y ) x^2+x^2 - 0. 5=۰ ⇒2x^۲= ۱/۲ ⇒x^ = ±√ ( ۱/۴ ) =±۱/۲ ⇒ ( x, y ) ^ = ( +1/2 , + 1/2 ) , ( x, y ) ^ = ( - ۱/۲ , - ۱/۲ )
مقادیر تابع ( f ( x, y به ازای دو نقطه بدست آمده عبارتند از:
f ( x, y ) =f ( +1/2 , + 1/2 ) = ۱/۲ + ۱/۲ = ۱
این نوشته برگرفته از سایت ویکی پدیا می باشد، اگر نادرست یا توهین آمیز است، لطفا گزارش دهید: گزارش تخلفبه عنوان مثال در شکل ۱ مسئله بهینه سازی را به صورت زیر در نظر بگیرید.
Maximize f ( x, y )
Subject to
g ( x, y ) =c
که می توان تابع داده شده را به صورت زیر نوشت f ( x, y ) =d
برای تمام نقاط مختلف از d و مسیر g که با g ( x, y ) =c داده شده اند، فرض کنیم که در طول مسیر g=c در حال قدم زدن هستیم که مسیرهای f و g می توانند کاملاً متفاوت باشند؛ بنابراین ادامه دادن از مسیر g می تواند مسیر f را قطع یا از آن عبور کند ( مماس ) . زمانیکه بردار مماس f و g موازی باشند این دو مسیر برهم مماس می شوند و در این حالت گرادیان آن ها بر دو مسیر عمود می شوند؛ و این مانند این گفته است که بگوییم گرادیان آن ها با هم موازی باشد؛ بنابراین ما نقطه ای مانند ( x, y ) می خواهیم جایی که g ( x, y ) =c و
∇_ ( x, y ) f= - λ. ∇_ ( x, y ) g
که در آن
∇_ ( x, y ) f= ( ∂f/∂x، ∂f/∂y ) ، ∇ ( x, y ) g= ( ∂g/∂x، ∂g/∂y )
شیب های مربوطه می باشند. در اینجا به ضریب λ نیاز است زیرا هرچند که هر دو بردار گرادیان موازی هستند ولی الزاماً اندازه آن ها باهم برابر نیست. با ترکیب کردن معادلات بالا در یک معادله واحد معادله کمکی زیر را بدست می آوریم.
ᴧ ( x, y، λ ) =f ( x, y ) +λ. ( g ( x, y ) - c )
و معادله زیر را حل می کنیم.
∇_ ( x, y، λ ) ᴧ ( x, y، λ ) =۰
که روش ضرایب لاگرانژ می باشد. توجه شود که ∇_λ ᴧ ( x, y، λ ) =۰ دلالت بر g ( x, y ) =c می کند.
مثال:
با استفاده از روش لاگرانژ بیشترین مقدار تابع f ( x، y ) =x+y را تحت شرایط x^2+y^2=0. 5 بدست آورید. حل: با استفاده از فرمول روش لاگرانژ داریم
ᴧ ( x, y, λ ) =f ( x, y ) +λ. ( g ( x, y ) - c ) =x+y+λ. ( x^2+y^2 - 0. 5 ) ᴧ ( x, y, λ ) =x+y+λ. ( x^2+y^2 - 0. 5
با مساوی صفر قرار دادن ∂ᴧ=۰ دستگاه معادلات خطی زیر حاصل می شود.
∂ᴧ/∂x = ۱+۲ λx =0 ( i )
∂ᴧ/∂y = ۱+۲ λy =0 ( ii )
∂ᴧ/∂λ =x^2+y^2 - 0. 5=0 ( iii )
با ترکیب دو معادله ( i ) و ( ii ) و حل آن ها نتیجه می شود x=y و با جایگذاری در معادله سوم خواهیم داشت.
x^2+y^2 - 0. 5=0 ( x=y ) x^2+x^2 - 0. 5=۰ ⇒2x^۲= ۱/۲ ⇒x^ = ±√ ( ۱/۴ ) =±۱/۲ ⇒ ( x, y ) ^ = ( +1/2 , + 1/2 ) , ( x, y ) ^ = ( - ۱/۲ , - ۱/۲ )
مقادیر تابع ( f ( x, y به ازای دو نقطه بدست آمده عبارتند از:
f ( x, y ) =f ( +1/2 , + 1/2 ) = ۱/۲ + ۱/۲ = ۱
wiki: ضرایب لاگرانژ