در ریاضیات و بخصوص در جبر خطی، یک زیرفضای خطی ( به انگلیسی: linear subspace ) یا زیرفضای برداری ( به انگلیسی: vector subspace ) [ ۱] [ ۲] ، یک زیرمجموعه از یک فضای برداری بزرگتر است که همچنان ویژگی های یک فضای برداری را داشته باشد. اگر با توجّه به موضوع، خطی بودن زیرفضا واضح باشد به آن تنها زیرفضا گفته می شود.
اگر V یک فضای برداری باشد و H یک زیرمجموعه از آن باشد ( با همان میدان و عملگرها و تنها مجموعه بردارهای زیرمجموعه ) ، H را زیرفضای V می نامیم اگر همچنان اصول موضوعی یک فضای برداری در آن صدق کند.
چون که H زیرمجموعهٔ V است اکثر اصول موضوعی برای آن برقرار است و تنها کافی است سه اصل از آنها بررسی شوند:[ ۲] [ ۳] [ ۴] [ ۵] [ ۶]
• عنصر صفر ( همانی جمع ) V {\displaystyle V} در آن باشد: 0 ∈ H {\displaystyle 0\in H}
• نسبت به جمع بسته باشد: ∀ v , u ∈ H : v + u ∈ H {\displaystyle \forall v, u\in H:v+u\in H}
• نسبت به ضرب بسته باشد: ∀ v ∈ H , c ∈ F : c ⋅ v ∈ H {\displaystyle \forall v\in H, c\in F:c\cdot v\in H}
بعضی منابع به جای اصل عنصر همانی، H را ناتهی فرض می کنند. در این صورت از بستار ضرب وجود عنصر صفر نتیجه می شود. در نتیجه این دو تعریف با یکدیگر معادل اند. [ ۷]
به عنوان یک نتیجه، هر فضای برداری زیرفضای خودش است. همچنین { 0 } یا فضای برداری صفر تنها شامل بردار صفر نیز زیرفضای آن است. [ ۷] به این دو زیرفضاهای بدیهی یک فضای برداری گفته می شود. [ ۸]
اجتماع دو زیرفضا به ندرت فضای برداری محسوب می شود. اجتماع دو زیرفضای V زیرفضای V می شود اگر و تنها اگر یکی از زیرفضاها زیرفضای دیگری باشد. [ ۹]
اگر H 1 , ⋯ , H n زیرفضای V باشند مجموع آنها به صورت H 1 + ⋯ + H n = { v 1 + ⋯ + v n : v i ∈ H i } تعریف می شود. [ ۹] مجموع چند زیرفضا کوچکترین زیرفضای V است که شامل همهٔ آن زیرفضا ها باشد. به عبارتی دیگر هر زیرفضای V که H 1 , ⋯ , H n زیرفضای آن باشند زیرفضای H 1 + ⋯ + H n است. [ ۹]
اگر اشتراک زیرفضاها مجموعهٔ ناتهی صفر باشد H 1 ∩ ⋯ ∩ H n = { 0 } در آن صورت به جمع آنها جمع مستقیم می گوییم و با H 1 ⊕ ⋯ ⊕ H n نمایش می دهیم. به شکل معادل، جمع H 1 + ⋯ + H n را مستقیم می نامیم اگر هر عنصر آن را تنها بتوان به صورت یکتا به شکل جمع v = u 1 + ⋯ + u n نوشت که در آن u i ∈ H i . همچنین می توان گفت H 1 + ⋯ + H n یک جمع مستقیم است اگر و تنها اگر تنها راه نوشتن 0 = u 1 + ⋯ + u n این باشد که هر u i = 0 باشد. [ ۹]
این نوشته برگرفته از سایت ویکی پدیا می باشد، اگر نادرست یا توهین آمیز است، لطفا گزارش دهید: گزارش تخلفاگر V یک فضای برداری باشد و H یک زیرمجموعه از آن باشد ( با همان میدان و عملگرها و تنها مجموعه بردارهای زیرمجموعه ) ، H را زیرفضای V می نامیم اگر همچنان اصول موضوعی یک فضای برداری در آن صدق کند.
چون که H زیرمجموعهٔ V است اکثر اصول موضوعی برای آن برقرار است و تنها کافی است سه اصل از آنها بررسی شوند:[ ۲] [ ۳] [ ۴] [ ۵] [ ۶]
• عنصر صفر ( همانی جمع ) V {\displaystyle V} در آن باشد: 0 ∈ H {\displaystyle 0\in H}
• نسبت به جمع بسته باشد: ∀ v , u ∈ H : v + u ∈ H {\displaystyle \forall v, u\in H:v+u\in H}
• نسبت به ضرب بسته باشد: ∀ v ∈ H , c ∈ F : c ⋅ v ∈ H {\displaystyle \forall v\in H, c\in F:c\cdot v\in H}
بعضی منابع به جای اصل عنصر همانی، H را ناتهی فرض می کنند. در این صورت از بستار ضرب وجود عنصر صفر نتیجه می شود. در نتیجه این دو تعریف با یکدیگر معادل اند. [ ۷]
به عنوان یک نتیجه، هر فضای برداری زیرفضای خودش است. همچنین { 0 } یا فضای برداری صفر تنها شامل بردار صفر نیز زیرفضای آن است. [ ۷] به این دو زیرفضاهای بدیهی یک فضای برداری گفته می شود. [ ۸]
اجتماع دو زیرفضا به ندرت فضای برداری محسوب می شود. اجتماع دو زیرفضای V زیرفضای V می شود اگر و تنها اگر یکی از زیرفضاها زیرفضای دیگری باشد. [ ۹]
اگر H 1 , ⋯ , H n زیرفضای V باشند مجموع آنها به صورت H 1 + ⋯ + H n = { v 1 + ⋯ + v n : v i ∈ H i } تعریف می شود. [ ۹] مجموع چند زیرفضا کوچکترین زیرفضای V است که شامل همهٔ آن زیرفضا ها باشد. به عبارتی دیگر هر زیرفضای V که H 1 , ⋯ , H n زیرفضای آن باشند زیرفضای H 1 + ⋯ + H n است. [ ۹]
اگر اشتراک زیرفضاها مجموعهٔ ناتهی صفر باشد H 1 ∩ ⋯ ∩ H n = { 0 } در آن صورت به جمع آنها جمع مستقیم می گوییم و با H 1 ⊕ ⋯ ⊕ H n نمایش می دهیم. به شکل معادل، جمع H 1 + ⋯ + H n را مستقیم می نامیم اگر هر عنصر آن را تنها بتوان به صورت یکتا به شکل جمع v = u 1 + ⋯ + u n نوشت که در آن u i ∈ H i . همچنین می توان گفت H 1 + ⋯ + H n یک جمع مستقیم است اگر و تنها اگر تنها راه نوشتن 0 = u 1 + ⋯ + u n این باشد که هر u i = 0 باشد. [ ۹]
wiki: زیرفضای خطی