رادیان

در همهٔ موارد عملی، زاویه بر حسب واحدهایی اندازه گیری می شود که از تقسیم زاویهٔ راست ( قائم ) به اجزاء برابر به دست می آیند. اگر تعداد این اجزا ۹۰ باشد، واحد همان واحد آشنای درجه است. تقسیم زاویهٔ راست به ۱۰۰ جزء برای نظام اعشاری ما مناسب تر است ( واحد گرادیان ) ، ولی آن هم معرف همین شیوهٔ اندازه گیری است. اما در بررسی های نظری بهتر است برای مشخص کردنِ اندازهٔ زاویه، از شیوهٔ اساساً متفاوتی استفاده کنیم که آن را اندازهٔ رادیانی یا اندازه بر حسب رادیان می نامند.
بسیاری از فرمول های مهمی که شامل تابع های مثلثاتیِ زاویه ها هستند، در این نظام شکل ساده تری دارند تا در نظام اندازه گیری بر حسب درجه. [ ۱]
رادیان زاویه مرکزی مقابل به کمانی از دایره است که طول آن با شعاع دایره برابر است؛ یعنی زاویه مرکزیِ متناظر با محیط دایره، مساویِ رادیان و اندازه زاویه نیم صفحه، π رادیان و اندازه زاویه قائمه، π / 2 رادیان است.
اندازهٔ بر حسب رادیان برای عملیات تحلیلی و نظری مناسب ولی برای استفاده های عملی نسبتاً نامناسب است، چون عدد π گنگ است. اگر از نقطه ای روی دایره شروع کرده پشت سر هم کمان های واحد یعنی کمان هایی به اندازهٔ ۱ رادیان جدا کنیم، هرگز به نقطهٔ شروع باز نخواهیم گشت. اما نظام اندازه گیری معمولی طوری طراحی شده که پس از ۳۶۰ بار کمان یک درجه ای، به نقطهٔ شروع برمی گردیم ( یعنی یک دور به ۳۶۰ واحد صحیح تقسیم شده است ) .
می دانیم که درجه واحدی برای اندازه گیری زاویه است. یک دایرهٔ کامل برابر با ۳۶۰ درجه، نیم دایره برابر با ۱۸۰ درجه و ربع دایره برابر با ۹۰ درجه است.
اما تا به حال از خود پرسیده اید چرا یک دایرهٔ کامل را ۳۶۰ درجه می گوییم؟ علت چیست؟
واحد درجه از زمان های بسیار دور هم وجود داشته و در واقع نوعی قرارداد است. اینکه چرا مردمان گذشته، یک درجه را برابر با یک ۳۶۰ام دایره گرفته اند، معلوم نیست.
البته نظراتی دربارهٔ تاریخچهٔ آن بیان شده: برخی بر این عقیده اند که در گذشته، اخترشناسان گمان می بردند که خورشید در هر روز به اندازهٔ ۱/۳۶۰ ( یک ۳۶۰ام ) محیط دایره جابجا می شود. به همین دلیل یک درجه را بدین صورت تعریف کردند.
نظر دیگری می گوید که بابلی ها این واحد را اختراع کرده اند؛ واحد شمارش بابلی ها بر مبنای ۶۰ بوده ( در حال حاضر بر مبنای ۱۰ است ) ؛ به همین دلیل به عدد ۳۶۰ رسیده اند.

رادیان (radian)
یکای اِس آی برای زاویه های تخت، با نماد rad. جایگزین یکای درجه است. رادیان زاویۀ مرکزی دایره در حالتی است که از مرکز به دو انتهای کمانی برابر با شعاع دایره وصل باشد. یک دایرۀ کامل ۳۶۰ درجه یا ۲π (تقریباً ۶.۲۸۴) رادیان است. یک رادیان تقریباً برابر ۵۷ درجه، و یک درجه برابر با(فرمول ۱)یا تقریباً۰.۰۱۷۵ رادیان است. استفاده از رادیان برای زاویه های خاصی در مختصات قطبی متداول است.فرمول ۱: