در ریاضیات، جدول های تابع های مثلثاتی کاربردهای گوناگونی دارند. پیش از وجود ماشین حساب جیبی، جدول های مثلثاتی برای ناوبری، علوم و مهندسی ضروری بودند. محاسبهٔ جدول های ریاضی، موضوع مهمی برای مطالعه بود که منجر به توسعهٔ نخستین دستگاه های محاسب مکانیکی شد.
رایانه ها و ماشین حساب های کنونی، با به کار گرفتن کتابخانه های خاص شامل کدهای ریاضی، مقدار توابع مثلثاتی را در لحظه، محاسبه می کنند. این کتابخانه ها معمولاً از جدول های درونی از پیش محاسبه شده بهره می برند و مقدار مورد نیاز را با درونیابی می یابند. درونیابی با استفاده از جدول های سادهٔ توابع مثلثاتی هنوز در گرافیک رایانه ای که دقت متوسطی لازم است و سرعت محاسبه اهمیت بیشتری دارد، انجام می شود.
یک کاربرد دیگر جدول های مثلثاتی که اهمیت دارد، در زمینهٔ الگوریتم های تبدیل فوریهٔ سریع است. در این الگوریتم، در یک تبدیل بارها مقادیر یک تابع مثلثاتی باید محاسبه شوند. در چنین حالتی، فراخوانی چندبارهٔ کتابخانه، سرعت محاسبه را به شدت کاهش می دهد. به جای آن، می توان کتابخانه را یک بار فراخوانی کرد که جدول مقادیر مثلثاتی مورد نظر را ایجاد کند. این فرایند نیاز به حجم زیادی از حافظه دارد. روش دیگر، بهره گرفتن از رابطهٔ بازگشتی برای محاسبهٔ مثادیر مثلثاتی است.
نخستین روش تهیهٔ جدول های مثلثاتی از نظر تاریخی و متداول ترین روش تا پیش از توسعهٔ رایانه ها، اعمال پیاپی اتحادهای نصف زاویه و جمع دو زاویه با آغاز از یک مقدار معلوم ( مانند مقادیر زاویهٔ قائمه ) بود. نخستین فردی که این اتحادها را در ساخت جدول مثلثاتی به کار برد، بطلمیوس بود. رابطه هایی که به این منظور به کار می روند، شامل اتحادهای زیر هستند:
یک الگوریتم تقریبی برای ساختن جدول های مثلثاتی توابع سسینوس و کسینوس، استفاده پیاپی از رابطه های زیر است:
که در آن ها n عددی صحیح بین صفر و N - ۱ است. c و s به ترتیب نشان دهنده کسینوس و سینوس، N تعداد مقدارهای محاسبه شده و d = ۲π/N هستند. این روش تقریبی، بر پایه روش اویلر برای حل معادله دیفرانسیل به صورت انتگرالی:
با شرایط اولیه s ( 0 ) = 0 و c ( 0 ) = 1 انجام می شود.
این الگوریتم روش مناسبی برای ساختن جدول سینوس نیست. زیرا خطای قابل توجهی دارد که متناسب با ۱/N است. برای نمونه، اگر N برابر ۲۵۶ باشد، بیشینه خطای تخمین سینوس حدود ۰٫۰۶۱ و اگر ۱۰۲۴ باشد، بیشینه خطا حدود ۰٫۰۱۵ است.
این نوشته برگرفته از سایت ویکی پدیا می باشد، اگر نادرست یا توهین آمیز است، لطفا گزارش دهید: گزارش تخلفرایانه ها و ماشین حساب های کنونی، با به کار گرفتن کتابخانه های خاص شامل کدهای ریاضی، مقدار توابع مثلثاتی را در لحظه، محاسبه می کنند. این کتابخانه ها معمولاً از جدول های درونی از پیش محاسبه شده بهره می برند و مقدار مورد نیاز را با درونیابی می یابند. درونیابی با استفاده از جدول های سادهٔ توابع مثلثاتی هنوز در گرافیک رایانه ای که دقت متوسطی لازم است و سرعت محاسبه اهمیت بیشتری دارد، انجام می شود.
یک کاربرد دیگر جدول های مثلثاتی که اهمیت دارد، در زمینهٔ الگوریتم های تبدیل فوریهٔ سریع است. در این الگوریتم، در یک تبدیل بارها مقادیر یک تابع مثلثاتی باید محاسبه شوند. در چنین حالتی، فراخوانی چندبارهٔ کتابخانه، سرعت محاسبه را به شدت کاهش می دهد. به جای آن، می توان کتابخانه را یک بار فراخوانی کرد که جدول مقادیر مثلثاتی مورد نظر را ایجاد کند. این فرایند نیاز به حجم زیادی از حافظه دارد. روش دیگر، بهره گرفتن از رابطهٔ بازگشتی برای محاسبهٔ مثادیر مثلثاتی است.
نخستین روش تهیهٔ جدول های مثلثاتی از نظر تاریخی و متداول ترین روش تا پیش از توسعهٔ رایانه ها، اعمال پیاپی اتحادهای نصف زاویه و جمع دو زاویه با آغاز از یک مقدار معلوم ( مانند مقادیر زاویهٔ قائمه ) بود. نخستین فردی که این اتحادها را در ساخت جدول مثلثاتی به کار برد، بطلمیوس بود. رابطه هایی که به این منظور به کار می روند، شامل اتحادهای زیر هستند:
یک الگوریتم تقریبی برای ساختن جدول های مثلثاتی توابع سسینوس و کسینوس، استفاده پیاپی از رابطه های زیر است:
که در آن ها n عددی صحیح بین صفر و N - ۱ است. c و s به ترتیب نشان دهنده کسینوس و سینوس، N تعداد مقدارهای محاسبه شده و d = ۲π/N هستند. این روش تقریبی، بر پایه روش اویلر برای حل معادله دیفرانسیل به صورت انتگرالی:
با شرایط اولیه s ( 0 ) = 0 و c ( 0 ) = 1 انجام می شود.
این الگوریتم روش مناسبی برای ساختن جدول سینوس نیست. زیرا خطای قابل توجهی دارد که متناسب با ۱/N است. برای نمونه، اگر N برابر ۲۵۶ باشد، بیشینه خطای تخمین سینوس حدود ۰٫۰۶۱ و اگر ۱۰۲۴ باشد، بیشینه خطا حدود ۰٫۰۱۵ است.
wiki: جدول های مثلثات