جبر مجموعه ها

جبر مجموعه ها خواص و قوانین مجموعه، تقاطع و متمم و روابط برابری و شمول مجموعه ها را بیان می کند. همچنین روشی اصولی برای ارزیابی عبارات و انجام محاسبات شامل این عملیات و روابط فراهم می کند. هر مجموعه ای تحت عملیات نظریه مجموعه ها یک جبر بولی را تشکیل می دهد. ( عملگر + همان اجتماع، عملگر . همان اشتراک و عملگر متمم بیانگر متمم مجموعه است )
جبر مجموعه ها مجموعه ای نظری مشابه جبر اعداد است. درست مانند جمع حسابی و ضرب که دارای خاصیت انجمنی ( شرکت پذیری ) و جا به جایی اند، اجتماع و اشتراک نیز این خواص را دارند. درست مانند رابطهٔ حسابی «کوچکتر مساوی» که خواص بازتابی، پاد متقارن و متعدی است، در نظریهٔ مجموعه ها نیز عملگری به نام «زیرمجموعه بودن» دارای این خواص است.
جبر مجموعه ها، جبری از عملیات اجتماع، اشتراک و متمم، و روابط برابری و شمول نظریهٔ مجموعه ها است. برای یک آشنایی ساده با مجموعه ها، به مقالات مجموعه ( ریاضی ) نگاه کنید، برای یک آشنایی بیشتر و عمیق تر، نظریه طبیعی مجموعه ها را ببینید، و برای بررسی دقیق و کامل نظریهٔ مجموعه ها، نظریه مجموعه ها را ببینید.
عملیات باینری اجتماع ( ∪ ) و اشتراک ( ∩ ) خواصی را به وجود آورده اند که برخی از این خواص یا «قوانین» دارای نام های به خصوص و مشهوری هستند:
• A ∪ B = B ∪ A {\displaystyle A\cup B=B\cup A\, \!}
• A ∩ B = B ∩ A {\displaystyle A\cap B=B\cap A\, \!}
• ( A ∪ B ) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C ) {\displaystyle ( A\cup B ) \cup C=A\cup ( B\cup C ) \, \!}
• ( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C ) {\displaystyle ( A\cap B ) \cap C=A\cap ( B\cap C ) \, \!}
قانون پخشی:
• A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) {\displaystyle A\cup ( B\cap C ) = ( A\cup B ) \cap ( A\cup C ) \, \!}
• A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) {\displaystyle A\cap ( B\cup C ) = ( A\cap B ) \cup ( A\cap C ) \, \!}
شباهت بین اجتماع و اشتراک مجموعه ها، و جمع و ضرب اعداد، کاملاً قابل توجه است. مانند جمع و ضرب، عملیات اجتماع و اشتراک دارای خواص جابجایی و شرکت پذیری هستند، و اشتراک بر روی اجتماع پخش پذیر است. البته بر خلاف جمع و ضرب، اجتماع نیز بر روی اشتراک پخش پذیر است.