جبر بولی

در ریاضیات و به خصوص در منطق ریاضی، جبر بولی ( به انگلیسی: Boolean algebra ) زیر مجموعه ای از جبر است که در آن مقدار متغیرها، درست یا غلط می باشد که معمولاً به همین ترتیب با ۱ و ۰ نشان داده می شوند. به جای جبر مقدماتی که در آن مقدار متغیرها اعداد هستند و عملگرهای اصلی جمع و ضرب می باشند، عملگرهای اصلی جبر بولی عطف منطقی ( و ) که با ∧ نشان داده می شود، فصل منطقی ( یا ) که با ∨ نشان داده می شود و نقیض که با ¬ نشان داده می شود، می باشند.
نام این جبر از نام جرج بول ریاضیدان انگلیسی در کتاب تحقیقی در قوانین اندیشه گرفته شده ( ۱۸۵۴ ) که سعی در برخورد جبری به منطق گزاره ها داشت. کتاب اول بول آنالیز ریاضی منطق تئوری اصلی را شامل می شد. آن مانند یک زبان ریاضی مطرح شده بود که سوالاتی از منطق سروکار داشت. چیزی که امروزه در طراحی دستگاه های دیجیتال مدرن نیاز است و به عنوان یک نوع دادهٔ اساسی در تمام زبان های برنامه نویسی مدرن وجود دارد. کلود شانون از پیشگامان رایانه های دیجیتال نخستین بار از این جبر در طراحی رایانه بهره گرفت.
جبر بول، یک ساختار جبری است که با عناصر مجموعه B و همراه با عملگرهای + و . تعریف می شود. اصول جبر بول عبارتند از:
• مجموعه B {\displaystyle B} نسبت به عملگر + {\displaystyle +} بسته است. یعنی اگر دو مقدار را با هم جمع کنیم، نتیجه عضوی از مجموعه B {\displaystyle B} است.
• مجموعه نسبت به عملگر . {\displaystyle . } بسته است. یعنی اگر دو مقدار را در هر ضرب کنیم، نتیجه عضوی از مجموعه B {\displaystyle B} است.
• عنصر خنثی در مجموعه برای عملگر + {\displaystyle +} برابر با 0 {\displaystyle 0} است. به طوری که x + 0 = 0 + x = x {\displaystyle x+0=0+x=x}
• عنصر خنثی در مجموعه برای عملگر . {\displaystyle . } برابر با 1 {\displaystyle 1} است. به طوری که x . 1 = 1. x = x {\displaystyle x. 1=1. x=x}
• مجموعه برای عملگر + {\displaystyle +} دارای خاصیت جابه جایی است. به طوری که x + y = y + x {\displaystyle x+y=y+x}
• مجموعه برای عملگر . {\displaystyle . } دارای خاصیت جابه جایی است. به طوری که x . y = y . x {\displaystyle x. y=y. x}
• عملگر . {\displaystyle . } روی + {\displaystyle +} توزیع پذیر است. یعنی x . ( y + z ) = ( x . y ) + ( x . z ) {\displaystyle x. ( y+z ) = ( x. y ) + ( x. z ) }
• عملگر + {\displaystyle +} روی . {\displaystyle . } توزیع پذیر است. یعنی x + ( y . z ) = ( x + y ) . ( x + z ) {\displaystyle x+ ( y. z ) = ( x+y ) . ( x+z ) }
• به ازای هر عنصر x ∈ B {\displaystyle x\in B} یک عنصر x ′ ∈ B {\displaystyle x'\in B} وجود دارد. به طوری که x + x ′ = 1 {\displaystyle x+x'=1} و x . x ′ = 0 {\displaystyle x. x'=0} است. x ′ {\displaystyle x'} به صورت «اکس نات» یا «مکمل اکس» خوانده می شود.
• مجموعه B {\displaystyle B} دارای حداقل دو عنصر x , y {\displaystyle x, y} است به طوری که x ≠ y {\displaystyle x\neq y} است.