جبر شرکت پذیر

در ریاضیات، جبر شرکت پذیر ( به انگلیسی: Associative Algebra ) ، ساختاری جبری است که عملگرهای دوتایی سازگاری به نام جمع و ضرب ( به فرض شرکت پذیری ) ، و ضرب اسکالری داشته که اسکالرهای آن عضوی از یک میدان می باشند. اعمال جمع و ضرب به A ساختار حلقه ای می دهند؛ اعمال جمع و ضرب اسکالر به A ساختار فضای برداری روی K می دهند. در این مقاله نیز ما از عبارت K - جبر به معنی جبر شرکت پذیر روی میدان K استفاده خواهیم کرد. اولین مثال غیر استاندارد از K - جبر، حلقه ماتریس های مربعی روی میدان K، با همان ضرب معمول ماتریسی است.
جبر جابجایی، جبر شرکت پذیری است که دارای خاصیت جابه جایی عمل ضرب است یا به طور معادل جبر شرکت پذیری است که همزمان حلقه ای جابجایی نیز باشد.
در این مقاله، جبرهای شرکت پذیر را دارای همانی ضرب ( ۱ ) در نظر می گیریم؛ برخی مواقع برای شفافیت بیشتر، به چنین جبرهایی، جبرهای شرکت پذیر یکدار گفته می شود. در برخی از شاخه های ریاضیات، چنین فرضی انجام نشده و به ساختارهای حاصل، جبرهای شرکت پذیر غیر - یکدار گفته می شود. همچنین ما در اینجا تمام حلقه ها را یکدار و تمام همریختی های حلقه ای را نیز یکدار در نظر خواهیم گرفت.
بسیاری از مؤلفان، به جای میدان، مفهوم کلی تر جبر شرکت پذیر روی حلقه ای جابجایی چون R را در نظر می گیرند: R - جبر، یک R - مدول با عمل دوتایی R - دوخطی است که شامل همانی ضربی نیز می باشد. به عنوان مثالی از این مفهوم، اگر S هر حلقه با مرکز C باشد، آنگاه S یک C - جبر شرکت پذیر خواهد بود.
فرض کنید R حلقه ای جابجایی باشد ( لذا R می تواند میدان باشد ) . R - جبر شرکت پذیر ( یا به زبان ساده تر، یک R - جبر ) ، حلقه ای است که هم زمان R - مدول نیز می باشد، به گونه ای که جمع حلقه ای و جمع مدولی یکی بوده و برای تمام r ∈ R و x , y ∈ A ، ضرب اسکالر در معادله زیر صدق می کند:
r ⋅ ( x y ) = ( r ⋅ x ) y = x ( r ⋅ y )
( نتیجه این معادله یکدار بودن A است، چرا که حلقه ها در اینجا یکدار فرض شده اند )
به طور معادل، جبر شرکت پذیر A حلقه ای است که مجهز به همریختی حلقه ای از R به مرکز A اس. اگر f چنین همریختی باشد، ضرب اسکالر ( r , x ) ↦ f ( r ) x خواهد بود ( در اینجا ضرب، همان ضرب حلقه است ) ؛ اگر ضرب اسکالر داده شده باشد، همریختی حلقه ای با r ↦ r ⋅ 1 R داده شده است.