تانسور متریک

در هندسه دیفرانسیل، تانسور متریک تابعی است که بر روی یک خمینه ( مانند سطحی در فضا ) تعریف می شود که یک جفت بردار تانژانت v و w را به عنوان ورودی گرفته و یک عدد حقیقی ( نرده ای ) ( g ( v, w تولید می کند، به گونه ای که بسیاری از ویژگی های آشنای ضرب داخلی بردارها در فضای اقلیدسی را تعمیم می دهد. شبیه به ضرب داخلی، تانسورهای متریک برای تعریف طول بردارهای تانژانت و زاویه بین آن ها استفاده می شود.
یک تانسور متریک را مثبت معین می خوانند، هرگاه هر بردار نسبت به متریک طول مثبت داشته باشد. خمینه ای که به یک تانسور متریک مثبت معین مجهز باشد به عنوان خمینه ریمانی شناخته می شود. تانسور متریک اجازه می دهد که با استفاده از انتگرال گیری طول انحناهای روی خمینه تعریف و محاسبه شود. کوتاهترین منحنی متصل کننده دو نقطه ژئودزیک نامیده می شود و طول آن فاصله ای است که یک مسافر روی خمینه باید برای رفتن از یک نقطه به نقطه دیگر طی کند. با مجهز شدن به این مفهوم طول، خمینه ریمانی یک فضای متریک خواهد بود، به این معنی که این خمینه یک تابع فاصله ( d ( p, q دارد که مقدار آن برای یک جفت نقطه p و q برابر با فاصله p تا q می باشد. به طور قرینه، خود تانسور متریک مشتق تابع فاصله است. بنابراین تانسور متریک فاصله بی نهایت کوچک روی خمینه را مشخص می کند.
در حالیکه برخی ریاضیدانان اوایل قرن نوزدهم، مانند گاوس، به گونه ای از مفهوم یک تانسور متریک آگاه بودند، تا اوایل قرن بیستم طول کشید تا ویژگی هایش به عنوان یک تانسور توسط گرگریو ریتچی کورباسترو و تولیو لوی چیویتا فهمیده شود. این دو برای نخستین بار مفهوم تانسور را کدبندی نمودند. تانسور متریک نمونه ای از یک میدان تانسوری است، به این معنی که نسبت به یک دستگاه مختصات محلی روی خمینه، یک تانسور متریک شکل ماتریس متقارنی را می گیرد که آرایه هایش بر اثر تغییر در دستگاه مختصات به شکل هموردایی تبدیل می گردند. از این رو تانسور متریک یک تانسور متقارن هموردا می باشد. از دیدگاه مستقل از مختصات، یک تانسور متریک بنا بر تعریف یک شکل دوخطی متقارن غیرتبهگن در هر فضای تانژانت است که به طرز همواری از نقطه ای به نقطه دیگر تغییر می کند.

تانسور متریک (نسبیت عام). تانسور متریک ( و یا به شکل ساده تر، متریک ) شیء بنیادی مطالعه در نسبیت عام است. شاید به گونه ای بتوان آن را تعمیم میدان گرانشی آشنای گرانش نیوتنی دانست. متریک تما ساختارهای هندسی و سببی فضازمان را ثبت می کند و برای تعریف مفاهیمی همچون فاصله، حجم، خمش، زاویه، گذشته و آینده از آن استفاده می شود.
در زبان ریاضی فضازمان با یک خمینه دیفرانسیل پذیر چهاربعدی M نمایش داده می شود و متریک به صورت یک تانسور متقارن درجه دوم هموردا بر روی M تعریف می شود. علاوه براین متریک باید غیرتبهگن با امضای ( - +++ ) باشد. به یک خمینه M مجهز به چنین متریکی خمینه لورنتزی می گویند.
متریک یک شکل متقارن دوخطی در هر فضای تانژانت M است که به صورت هموار ( یا دیفرانسیل پذیر ) از نقطه ای به نقطه دیگر تغییر می کند. با داشتن دو بردار تانژانت u و v در یک نقطه x از M، می توان متریک را روی u و v ارزیابی کرد تا به یک عدد حقیقی برسیم:
می توان این را با ضرب داخلی در فضای اقلیدسی مقایسه کرد، اما این مقایسه دقیق نیست زیرا برخلاف فضای اقلیدسی - که ضرب داخلی مثبت معین است - متریک به هر فضای تانژانت ساختار فضای مینکوفسکی را می دهد.