تابع گاما

تابع گاما ( به انگلیسی: Gamma function ) در علم ریاضیات، یک تعمیم پرکاربرد برای تابع فاکتوریل به اعداد مختلط است. نماد تابع گاما Γ می باشد، که این نماد حرف بزرگ گاما در الفبای یونانی است. تابع گاما برای همه اعداد مختلط، غیر از اعداد صحیح غیر مثبت، تعریف شده است. برای هر عدد صحیح مثبت n رابطه زیر برقرار است:
Γ ( n ) = ( n − 1 ) !   .
دانیال برنولی برای اعداد مختلط با قسمت حقیقی مثبت، رابطه زیر را برای تابع گامای این اعداد به دست آورد، این عبارت یک انتگرال ناسره همگرا می باشد:
Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ x z − 1 e − x d x ,   ℜ ( z ) > 0   .
تابع گاما به صورت امتداد تحلیلی این تابع انتگرالی به یک تابع مرومورفیک تعریف شده است ( این تابع یک تابع تمام ریخت ( هولومورفیک ) در صفحه مختلط، بجز در اعداد صحیح غیر مثبت ، که در آنها تابع قطب ساده دارد، می باشد ) .
تابع گاما مقدار صفر ندارد، یعنی تابع گامای معکوس 1 / Γ یک تابع کامل است. در واقع، تابع گاما متناظر با تبدیل ملین برای تابع نمایی منفی است:
Γ ( z ) = { M e − x } ( z ) .
تعمیم های دیگری نیز برای تابع فاکتوریل وجود دارد، اما تابع گاما مردمی ترین و مفیدترین تعمیم می باشد. این تابع یکی از مولفه های مهم در توابع مختلف توزیع احتمال است؛ و از این رو تابع گاما، قابل استفاده در احتمال و آمار و همچنین ترکیبیات می باشد.
در ضمن برای هر عدد طبیعی z داریم:
همچنین می توان ثابت کرد که:
این تابع در بسیاری از تابع های توزیع احتمال ظاهر می شود و در زمینه های مختلفی از جمله آمار و احتمال کاربرد دارد. [ ۱]
نمایش این تابع با Γ ( t ) کاری از لژاندر است. اگر بخش حقیقی عدد مختلط t مثبت باشد، در آن صورت انتگرال زیر:
Γ ( t ) = ∫ 0 ∞ x t − 1 e − x , d x
مطلقاً همگرا است. به این انتگرال، انتگرال اویلر نوع دوم نیز گفته می شود. انتگرال اویلر نوع اول، به نام تابع بتا شناخته می شود. با انتگرال گیری جزءبه جزء می توان رابطهٔ بازگشتی زیر را به دست آورد:[ ۱]
Γ ( z + 1 ) = ∫ 0 ∞ x z e − x d x = 0 ∞ + ∫ 0 ∞ z x z − 1 e − x d x = lim x → ∞ ( − x z e − x ) − ( 0 e − 0 ) + z ∫ 0 ∞ x z − 1 e − x d x