اعداد متباین

در نظریه اعداد، دو عدد صحیح را متباین یا هم اول یا نسبت به هم اول گویند؛ چنانچه بزرگترین مقسوم علیه مشترک ( ب. م. م ) این دو عدد، برابر یک باشد؛ یا به عبارتی هیچ مقسوم علیه مشترکی جز یک نداشته باشند. [ ۱] بدین ترتیب اگر a و b اعدادی صحیح باشند و ( a , b ) = 1 باشد؛ آنگاه a و b نسبت به هم اول خواهند بود. [ ۲] همچنین هم اول بودن دو عدد مانند a و b را به صورت a ⊥ b نمایش می دهند.
• دو عدد 6 {\displaystyle {6}} و 35 {\displaystyle {35}} را در نظر بگیرید؛
اگر بخواهیم عوامل اول این دو عدد را بدست آوریم؛ خواهیم داشت:
6 = 2 × 3 35 = 5 × 7
بدین ترتیب مشاهده می کنیم که در عوامل تجزیه شده دو عدد عامل مشترکی به جز 1 وجود ندارد؛
بنابراین ( 6 , 35 ) = 1 خواهد بود.
پس آنگاه می گوییم دو عدد 6 و 35 نسبت به هم اول هستند.
• اما اکنون دو عدد 14 {\displaystyle {14}} و 77 {\displaystyle {77}} را در نظر بگیرید؛
14 = 2 × 7 77 = 7 × 11
بدین ترتیب مشاهده می کنیم که در عوامل تجزیه شده دو عدد، علاوه بر عدد 1 ، عامل مشترک دیگری ( عدد 7 ) نیز وجود دارد.
بنابراین ( 14 , 77 ) = 7 خواهد بود.
پس آنگاه می گوییم دو عدد 14 و 77 نسبت به هم اول نیستند.
نکته: اعداد 1 و − 1 تنها اعدادی هستند که با هر عدد صحیح دیگر متباین هستند؛ همچنین تنها اعدادی هستند که با عدد 0 متباین هستند.
نکته: از الگوریتم اقلیدس می توان برای تشخیص هم اول بودن اعداد استفاده کرد.
• دو عدد طبیعی متوالی همواره نسبت به هم متباین هستند: ( a {\displaystyle {a}} عددی طبیعی می باشد. )
( a , a + 1 ) = 1 ⇒ ( 999 , 1000 ) = 1
• توان های 2 {\displaystyle {2}} همواره نسبت به اعداد فرد، اول هستند: ( n {\displaystyle {n}} و k {\displaystyle {k}} اعدادی طبیعی هستند. )
( 2 n , 2 k − 1 ) = 1 ⇒ ( 64 , 79 ) = 1
• تمامی اعداد اول متمایز، نسبت به هم اول هستند: ( x {\displaystyle {x}} و y {\displaystyle {y}} اعدادی اول هستند. )
( x , y ) = 1 ⇒ ( 13 , 19 ) = 1
• اگر دو عدد طبیعی نسبت به هم متباین باشند؛ ( یعنی ( ب. م. م ) دو عدد برابر با یک باشد. ) آنگاه ( ک. م. م ) آنها، برابر با حاصل ضرب آن دو عدد خواهد بود. ( m {\displaystyle {m}} و n {\displaystyle {n}} اعدادی طبیعی هستند. )