اعداد زائد

اعداد تام، اعداد صحیحی مانند n که مجموع مقسوم علیه های آن ها ۲n است. اگر، مجموع مقسوم علیه های یک عدد صحیح n، کوچکتر از ۲n باشد، آ ن عدد را ناقص می گویند؛ و اگر s ( n ) از ۲n بزرگتر باشد، عدد را زائد می نامند. مثلاً
S ( ۱۰ ) =۱۸، در نتیجه ۱۰ ناقص است.
در حالی که
S ( ۱۲ ) =۲۸، در نتیجه ۱۲ زائد است.
واضح است که هر عدد صحیح مثبتی، یا ناقص است، یا تام، یا زائد.
با اطلاعات ظاهراً کمی که این تعریف ها در اختیار ما می گذارند، یافتن اثبات های آسان برای نتایج کلی از قبیل دو قضیهٔ زیر شگفت آور می نماید.
هر عدد زوج بزرگتر از ۴۶ را می توان به صورت حاصل جمع دو عدد زائد نوشت. ؛ اثبات قضیه ۱: در اثبات این قضیه و قضیهٔ ۲، لم زیر نقش اساسی دارد: ؛ لم.
اگر عدد n تام یا زائد باشد، مضارب آن
زائدند.
؛ اثبات لم: فرض کنیم مقسوم علیه های n عبارت باشند از d۲, …، d۱=۱، dk=n. در این صورت، md۱ ، md۲ ، . . . mdk مقسوم علیه های عدد mn هستند. چون m  ≥  ۲، مقسوم علیه ۱ جزء مقسوم علیه های mn در این فهرست نمی آید. بدون این که زحمت جستجوی سایر مقسوم علیه های mn را به خود بدهیم، می توانیم نتیجه بگیریم که:
s ( mn )   ≥  ۱+md۱+…+mdk> md۱+md۲+…+mdk=ms ( n )
حال اگر n تام یا زائد باشد، آن گاه
پس:
S ( mn ) > m ( ۲n )
که نتیجه می دهد mn زائد است.
حال، به انجام رساندن قضیه ۱ کار ساده ایست. واضح است که اگر عدد صحیح زوجی بر ۶ تقسیم شود، باقی مانده اش یکی از اعداد ۰، ۲، یا ۴ خواهد بود؛ یعنی هر عدد صحیح زوجی به یکی از صورت های زیر است: n=۶k یا n=۶k+۲ یا n=۶k+۴ .
اگر n=۶k وk  ≥  ۴، می توان نوشت:
n=۶k=۶*۲+۶ ( k - ۲ )
و بنا به لم ما، هر یک از جمله های طرف راست، زائد است.
اگر n=۶k+۲ وk  ≥  ۵، می توان نوشت:
n=۶k+۲=۶*۳+۶ ( k - ۳ ) +۲=۲۰+۶ ( k - ۳ )
۲۰ زائد است، و مضرب ۶ در جملهٔ دوم نیز زائد است.
اگر n=۶k+۴ وk  ≥  ۸، می توان نوشت:
n=۶k+۴=۶*۶+۶ ( k - ۶ ) +۴=۴۰+۶ ( k - ۶ )
۴۰ زائد است، و ( k - ۶ ) نیز زائد است.
اعداد کوچکتر از ۴۶ عبارت اند از ۱۲، ۱۸، ۲۰، ۲۴، ۳۰، ۳۶، ۴۰ و ۴۲. به آسانی دیده می شود که مجموع هیچ دو تا از این اعداد، ۴۶ نیست. در نتیجه، ۴۶ بزرگترین عدد صحیح زوجی است که نمی توان آن را به صورت مجموع دو عدد زائد نوشت.
هر عدد صحیح ناکمتر از ۸۳۱۶۰ را می توان به صورت مجموع دو عدد زائد نوشت. ؛ اثبات قضیه ۲: بنابر قضیه ۱، هر عدد زوج ناکمتر از ۸۳۱۶۰ را می توان به صورت مجموع دو عدد زائد نوشت. پس کافی است اعداد فرد بزرگتر از ۸۳۱۶۰ را در نظر بگیریم.