* جبر

در ریاضیات، و به طور خاص در جبر مجرد، یک * - جبر ( یا جبر پیچشی ( به انگلیسی: Involutive Algebra ) ، که به صورت "جبر ستاره ای"، "استار - الجبرا"، "استار - جبر" و. . . هم خوانده می شود ) یک ساختار ریاضیاتیست که شامل حلقه های پیچشی R و A است که R جابجایی و A دارای ساختار جبر شرکتپذیر بر روی R است. جبرهای پیچشی تعمیم دهنده ایده دستگاه اعداد مجهز به مزدوج گیری است مثل: مزدوج مختلط، ترانهاده مزدوج، عملگرهای خطی روی فضای هیلبرت و الحاق هرمیتی. با این حال، ممکن است که یک جبر هیچ پیچشی نپذیرد ( یعنی نتوان بر روی آن هیچ پیچشی تعریف نمود ) .
در ریاضیات، یک * - حلقه، حلقه ای است که مجهز به نگاشت ∗ : A → A می باشد، که یک پاد - خودریختی و یک پیچش است.
به طور دقیق تر، * باید خواص زیر را برای تمام x , y ∈ A ارضاء نماید:[ ۱]
• ( x + y ) ∗ = x ∗ + y ∗ {\displaystyle ( x+y ) ^{*}=x^{*}+y^{*}}
• ( x y ) ∗ = y ∗ x ∗ {\displaystyle ( xy ) ^{*}=y^{*}x^{*}}
• 1 ∗ = 1 {\displaystyle 1^{*}=1}
• ( x ∗ ) ∗ = x {\displaystyle ( x^{*} ) ^{*}=x}
به این حلقه حلقه پیچشی هم می گویند. توجه کنید که اصل سوم در اصل اضافی است، چون اصل دوم و چهارم نتیجه می دهند که 1 ∗ نیز یک همانی ضربی است و همانی ها منحصر به فردند.
عناصری چون x* = x را خود - الحاقی خوانند. [ ۲]
مثال های کهن الگو از یک * - حلقه، میدان اعداد مختلط و اعداد جبری مجهز به مزدوج مختلط به عنوان پیچش اند. می توان فرم سسکوئی - خطی روی هر * - حلقه تعریف کرد.
همچنین، می توان * - نسخه هایی از اشیاء جبری چون ایده آل، زیر حلقه با شرط * - ناوردایی: x ∈ I → x ∗ ∈ I و . . . را نیز تعریف کرد.
یک * - جبر چون A ، یک * - حلقه است، [ ۳] که مجهز به پیچش * بوده چنان که جبر شرکت پذیر روی * - حلقه جابجایی R با پیچش ` باشد، چنان که داشته باشیم:
( r x ) ∗ = r ′ x ∗ ∀ r ∈ R , x ∈ A [ ۴]
* - حلقه پایه اغلب اعداد مختلط اند ( که * به عنوان مزدوجه مختلط عمل می کند ) .
از اصول موضوعه ها نتیجه می شود که * روی A در R مزدوج - خطی است، یعنی برای λ , μ ∈ R و x , y ∈ A :