در بنیان های رایش پارادوکس راسل یا ناسازنمای راسل از برجسته ترین ناسازنماهای نگره ی مجموعه ها است که به دست دانشمند و فیلسوف بریتانیایی برتراند راسل در سال ۱۹۰۱ شناسانده شد.
این ناسازنما نشان می دهد که نگره ی طبیعی مجموعه های فرگه که برپایه ی کارهای گئورگ کانتور، بنیان گذار نظریه مجموعه ها، بود دارای پاد گویی هایی در درون خودش است.
در نظریه طبیعی مجموعه ها دو اصل موضوع عمده وجود دارد که عبارت اند از اصل موضوع گسترش و اصل موضوع شهودی تجرید.
اصل شهودی تجرید بیان می کند که اگر ϕ ( x ) یک گزاره نما در مورد متغیر آزاد x باشد آنگاه:
یک مجموعه است. به بیان دیگر متناظر با هر گزاره نما ( خاصیت ( به عبارت ساده تر مجموعه ) ) چون ϕ ( x ) ، مجموعه ای وجود دارد که دقیقاً شامل عناصری است که در ϕ ( x ) صدق می کنند. به این ترتیب این اصل به ما اجازه می دهد که به وسیلهٔ هر ویژگی دلخواه، یک مجموعه داشته باشیم.
برتراند راسل به وسیلهٔ پارادکس راسل نشان داد که در نظر گرفتن این اصل در نظریهٔ طبیعی مجموعه ها موجب تناقض می شود، و لذا نظریهٔ طبیعی مجموعه های گئورگ کانتور نظریه ای ناسازگار است و نیاز به بازنگری دارد.
راسل، به وسیلهٔ ارایهٔ مجموعهٔ همه مجموعه هایی که عضو خود نیستند، این فرض را که مجموعه ها می توانند به صورت آزاد و بدون هیچ قید و بند و معیاری تعریف شوند، باطل اعلام کرد. این مجموعه توسط برتراند راسل معرفی شد و تناقضی که از آن حاصل می شود پارادوکس راسل است.
گزاره نمای ϕ ( x ) : x ∉ x را در مورد مجموعه ها، در نظر بگیرید. دراین صورت مطابق اصل شهودی تجرید
یک مجموعه است که شامل همهٔ مجموعه هایی است که عضو خودشان نیستند.
فرض کنید R «مجموعهٔ همهٔ مجموعه هایی که عضو خودشان نیستند» باشد؛ یعنی:
پس A یک عضو R است اگر و فقط اگر A یک عضو A نباشد؛ یعنی:
هیچ چیز در نظریهٔ مجموعه های کانتور و فرگه مانع تعریف چنین مجموعه ای نمی شود و خوش تعریفی آن نیز واضح فرض می شود.
مشکل هنگامی برمی خیزد که به خود مجموعهٔ R، به عنوان مجموعهٔ قابل قبول نگاه بیندازیم و این سؤال را در مورد R مطرح کنیم که آیا R عضوی از خودش است یا نه؟
• اگر پاسخ بلی بدهیم، پس R ∈ R {\displaystyle R\in R} ولذا بنابر تعریف مجموعهٔ R باید داشته باشیم R ∉ R {\displaystyle R\not \in R} که این تناقض است.
• اگر پاسخ خیر باشد، پس R ∉ R {\displaystyle R\not \in R} و لذا بنابر تعریف R باید داشته باشیم R ∈ R {\displaystyle R\in R} که این نیز تناقض است.
این نوشته برگرفته از سایت ویکی پدیا می باشد، اگر نادرست یا توهین آمیز است، لطفا گزارش دهید: گزارش تخلفاین ناسازنما نشان می دهد که نگره ی طبیعی مجموعه های فرگه که برپایه ی کارهای گئورگ کانتور، بنیان گذار نظریه مجموعه ها، بود دارای پاد گویی هایی در درون خودش است.
در نظریه طبیعی مجموعه ها دو اصل موضوع عمده وجود دارد که عبارت اند از اصل موضوع گسترش و اصل موضوع شهودی تجرید.
اصل شهودی تجرید بیان می کند که اگر ϕ ( x ) یک گزاره نما در مورد متغیر آزاد x باشد آنگاه:
یک مجموعه است. به بیان دیگر متناظر با هر گزاره نما ( خاصیت ( به عبارت ساده تر مجموعه ) ) چون ϕ ( x ) ، مجموعه ای وجود دارد که دقیقاً شامل عناصری است که در ϕ ( x ) صدق می کنند. به این ترتیب این اصل به ما اجازه می دهد که به وسیلهٔ هر ویژگی دلخواه، یک مجموعه داشته باشیم.
برتراند راسل به وسیلهٔ پارادکس راسل نشان داد که در نظر گرفتن این اصل در نظریهٔ طبیعی مجموعه ها موجب تناقض می شود، و لذا نظریهٔ طبیعی مجموعه های گئورگ کانتور نظریه ای ناسازگار است و نیاز به بازنگری دارد.
راسل، به وسیلهٔ ارایهٔ مجموعهٔ همه مجموعه هایی که عضو خود نیستند، این فرض را که مجموعه ها می توانند به صورت آزاد و بدون هیچ قید و بند و معیاری تعریف شوند، باطل اعلام کرد. این مجموعه توسط برتراند راسل معرفی شد و تناقضی که از آن حاصل می شود پارادوکس راسل است.
گزاره نمای ϕ ( x ) : x ∉ x را در مورد مجموعه ها، در نظر بگیرید. دراین صورت مطابق اصل شهودی تجرید
یک مجموعه است که شامل همهٔ مجموعه هایی است که عضو خودشان نیستند.
فرض کنید R «مجموعهٔ همهٔ مجموعه هایی که عضو خودشان نیستند» باشد؛ یعنی:
پس A یک عضو R است اگر و فقط اگر A یک عضو A نباشد؛ یعنی:
هیچ چیز در نظریهٔ مجموعه های کانتور و فرگه مانع تعریف چنین مجموعه ای نمی شود و خوش تعریفی آن نیز واضح فرض می شود.
مشکل هنگامی برمی خیزد که به خود مجموعهٔ R، به عنوان مجموعهٔ قابل قبول نگاه بیندازیم و این سؤال را در مورد R مطرح کنیم که آیا R عضوی از خودش است یا نه؟
• اگر پاسخ بلی بدهیم، پس R ∈ R {\displaystyle R\in R} ولذا بنابر تعریف مجموعهٔ R باید داشته باشیم R ∉ R {\displaystyle R\not \in R} که این تناقض است.
• اگر پاسخ خیر باشد، پس R ∉ R {\displaystyle R\not \in R} و لذا بنابر تعریف R باید داشته باشیم R ∈ R {\displaystyle R\in R} که این نیز تناقض است.
wiki: پارادوکس راسل