همگرایی متغیرهای تصادفی

دنباله تصادفی زیر را در نظر بگیرید:
X 1 , X 2 , . . . , X n , . . .
به ازای هر ζ ( که ζ ∈ Ω نمایانگر یک پیشامد از فضای احتمال Ω می باشد ) ، X n ( ζ ) تبدیل به یک دنباله از اعداد می شود که این دنباله عددی، ممکن است همگرا شونده باشد یا نباشد. بر این اساس مفهوم همگرایی در مورد دنباله های تصادفی می تواند چندین تفسیر متفاوت داشته باشد که در ادامه معرفی می شوند:
می گوییم دنباله تصادفی X n همه جا همگرا می شود اگر دنباله اعداد X n ( ζ ) برای تمام ζ ها ( ζ ∈ Ω ) همگرا شونده باشد. این دنباله به یک عدد همگرا می شود که در حالت کلی وابسته به ζ می باشد. به بیان دیگر حد دنباله تصادفی X n یک متغیر تصادفی X می باشد:
lim n → ∞ X n = X
اگر مجموعه پیشامدهای ζ به طوری که lim n → ∞ X n ( ζ ) = X ( ζ ) وجود داشته باشد و احتمال متناظر با آن برابر ۱ باشد، در این صورت می گوییم دنباله X n تقریباً همه جا همگرا می شود ( یا با احتمال ۱ همگرا می شود ) و می نویسیم:
P { lim n → ∞ X n = X } = 1
دنباله X n در معنای MS به متغیر تصادفی X میل می کند اگر lim n → ∞ E { | X n − X | 2 } = 0 . یعنی امید مربع فاصله در بی نهایت صفر شود. به این حالت حد در میانگین ( limit in the mean ) گفته می شود و غالباً به صورت زیر نوشته می شود:
l. i. m.   X n = X n → ∞
احتمال P { | X − X n | > ϵ } مربوط به رویداد { | X − X n > ϵ | } خود یک دنباله عددی است ( بر اساس n ) که به مقدار ϵ وابسته است. اگر این دنباله به ازای هر ϵ > 0 به 0 میل کند، یعنی:
lim n → ∞ P { | X − X n | } = 0
می گوییم دنباله تصادفی X n به متغیر تصادفی X در احتمال میل می کند. به این حالت همگرایی تصادفی ( stochastic convergence ) نیز گفته می شود.
به ترتیب با F n ( x ) و F ( x ) توابع توزیع متغیرهای تصادفی X n و X را نمایش می دهیم. اگر برای هر نقطه پیوستگی x از F ( x ) داشته باشیم:
lim n → ∞ F n ( x ) = F ( x )
سپس می گوییم دنباله X n در توزیع به متغیر تصادفی X میل می کند. لازم است ذکر شود که در این حالت ممکن است دنباله X n ( ζ ) به ازای هیچ ζ همگرا نشود.