نظریه جبری اعداد

نظریه جبری اعداد ( به انگلیسی: Algebraic Number Theory ) ( یا نظریه اعداد جبری ) ، شاخه ای از نظریه اعداد است که از تکنیک های جبر مجرد برای مطالعه اعداد صحیح، اعداد گویا و تعمیمشان استفاده می کند. سؤالات نظریه اعدادی بر اساس خواص اشیاء جبری چون میدان اعداد جبری و حلقه های اعداد صحیحشان، میدان های متناهی و میدان توابع بیان می شود. چنین خواصی مثل خاصیت تجزیه یکتایی یک حلقه، رفتار ایده آل ها و گروه های گالوای میدان ها می تواند مسائل مهم نظریه اعداد چون وجود جواب برای معادلات سیاله ای را حل کند.
آغاز نظریه جبری اعداد به معادلات سیاله ای ( یا دیوفانتینی ) بر می گردد، [ ۱] نام این معادلات به ریاضیدان اهل اسکندریه قرن سوم میلادی یعنی دیوفانتوس بر می گردد، که این معادلات را مطالعه کرده و روش هایی برای حل برخی از انواع معادلات سیاله ای ( یا دیوفانتینی ) توسعه داد. یک مسئله سیاله ای عادی به این شکل است که باید دو عدد صحیح مثل x و y چنان پیدا کنیم که جمعشان و جمع مربعاتشان به ترتیب برابر A و B باشد:
معادلات سیاله ای برای هزاران سال مطالعه شدند. به عنوان مثال، جواب معادله سیاله ای مربعی x 2 + y 2 = z 2 توسط سه تایی های فیثاغورسی داده شده که ابتداً بابلی ها ( ۱۸۰۰ قبل از میلاد ) آن را حل کردند. [ ۲] جواب های معادلات سیاله ای چون 26 x + 65 y = 13 ممکن است با استفاده از الگوریتم اقلیدس پیدا شوند ( قرن پنجم قبل از میلاد ) . [ ۳]
بزرگترین کار دیوفانتوس اثری بود به نام Arithmetica که تنها بخشی از آن باقی مانده است.
قضیه آخر فرما اولین حدسی بود که توسط پیر د فرما در ۱۶۳۷ زده شد. مشهور است که فرما آن را در حاشیه کتاب Arithmetica یادداشت کرد و در آنجا ادعا می کند که اثباتی برای آن دارد که به خاطر بزرگ بودنش در حاشیه کتاب جا نمی شود. تا سال ۱۹۹۵ با وجود تلاش های فراوان بسیاری از ریاضیدانان در طی ۳۵۸ سال هیچ اثباتی برای این حدس منتشر نشد. این مسئله حل نشده موجب تحریک توسعه نظریه جبری اعداد در قرن نوزدهم میلادی شده و اثبات قضیه مدولاریتی را در قرن بیستم رقم زد.
یکی از کار های بنیادین در نظریه جبری اعداد، کتابی با نام تحقیقاتی در حساب ( با عنوان لاتین: Disquisitiones Arithmeticae ) است که به زبان لاتین[ ۴] توسط کارل فردریش گاوس در ۱۷۹۸ نوشته شد، زمانی که او ۲۱ ساله بود و اولین چاپش مربوط به ۱۸۰۱ زمانی که او ۲۴ ساله بود صورت گرفت. در این کتاب، گاوس نتایج مختلف در نظریه اعداد را که توسط ریاضیدانانی چون فرما، اویلر، لاگرانژ و لژاندر بدست آمده بودند را گرد هم آورده و نتایج مهم جدیدی از خودش نیز بدان افزود. قبل از این که این کتاب منتشر شود، نظریه اعداد عمدتاً شامل مجموعه ای از قضایا و حدس های منزوی بود. گاوس کارهای پیشینیان خود را به همراه کار اصیل خویش گرد هم آورد و در یک چارچوب نظام مند، شکاف ها را پر کرده، اثبات های بی معنا را معنا بخشید و موضوع مورد نظر را به طرق مختلف گسترش داد.