ناهم واریانسی

در آمار دنباله ای، متغیرهای تصادفی که دارای واریانس های متفاوتی باشد ناهم واریانس ( heteroscedastic ) نامیده می شود. در مقابل به یک دنباله از متغیرهای تصادفی واریانس همسان می گویند اگر دارای واریانس ثابتی باشند.
فرض کنیم یک دنباله از متغیرهای تصادفی در اختیار داریم:. {Yt}t=۱n . ویک دنباله از بردارهای متغیرهای تصادفی:. {Xt}t=۱n. با استفاده از امید ریاضی Yt. به شرط Xt. دنباله ی. {Yt}t=۱n. واریانس ناهمسان نامیده می شود اگر واریانس Yt به شرط Xtبا تغییر t تغییر نماید. برخی از منابع از این تعریف تحت عنوان “واریانس ناهمسانی مشروط “یاد می کنند، که این موضوع جهت تأکید بر این واقعیت است که «دنباله ای از واریانس های شرطی» می باشند که متفاوت بوده و تغییر می یابند و نه واریانس های غیر شرطی. در واقع ممکن است واریانس ناهمسانی مشروط داشته باشیم در حالی که متغیرهای تصادفی به شکل غیر شرطی واریانس همسان اند. باید توجه داشت عکس این موضوع صادق نمی باشد. وقتی که از روش های آماری از قبیل روش حداقل مربعات جهت برآوردهای آماری استفاده می نماییم تعدادی از فروض را به شکل ضمنی لحاظ نموده ایم. یکی از این فروض این است که جملات خطا دارای واریانس یکسان اند. حتی اگر فرض کنیم که جملات خطا متعلق به توزیع های آماری مشابهی باشند این فرض ممکن است صحیح نباشد. برای مثال جملات خطا می توانند به ازای هر مشاهده تغییر یافته و فرضاً افزایش یابند. این مسئله برای مشاهداتی که از داده های مقطعی بدست آمده اند کاملاً رایج است. واریانس ناهمسانی عموماً به عنوان یکی از موضوعات مورد بحث در اقتصادسنجی شناخته می شود. در میان اقتصادسنجی دان ها رابرت انگل در سال ۲۰۰۳ بخاطر مطالعاتی که پیرامون تحلیل رگرسیون با فرض وجود واریانس ناهمسانی داشت موفق به کسب جایزهٔ نوبل گردید. حاصل مطالعات وی روشی جهت تخمین رگرسیون در شرایط واریانس ناهمسانی حاصل نمود که تحت عنوان روش مدل سازی آرک ARCH شناخته می شود.
بایستی توجه داشت که با وجود مشکل واریانس ناهمسانی برآوردهای ما از ضرایب به کمک روش حداقل مربعات همچنان بدون تورش باقی می ماند. اما واریانس برآورد شده با روش حداقل مربعات برای ضرایب در این شرایط تورش دار خواهد بود؛ یعنی در این شرایط واریانس برآوردی ضرایب مقادیری بیشتر یا کمتر از واریانس حقیقی جامعه را ارائه می دهد. از این رو استنتاج هایی که به روش حداقل مربعات در این شرایط صورت می گیرد ممکن است صحیح نباشد. به عنوان مثال فرض کنیم واریانس برآورد شده مقداری کوچکتر از واریانس جامعه را ارائه دهد در این صورت مقداری که برای آمارهٔ تی محاسبه می شود مقدار بزرگتری از مقدار واقعی آماره را نمایان می سازد و این امکان را ایجاد می کند که به شکل غیرواقعی مقدار آماره در ناحیهٔ بحرانی قرار بگیرد. و از این رو فرضیه صفر که دلالت بر معنادار نبودن ضریب برآورد شده دارد رد می گردد، حال آنکه ممکن است ضریب مذکور بی معنا بوده باشد. از دیگر نتایجی که واریانس ناهمسانی بهمراه دارد عدم اعتبار فاصلهٔ اطمینان می باشد. از آنجا که برآورد صحیحی از واریانس نداریم طبیعتاً فاصلهٔ اطمینان نیز که بر اساس این واریانس ساخته می شود قابل اعتماد نیست. همچنین در این شرایط آزمون های معنا داری ضرایب همانند آزمون اف یا آزمون ال - ام نتایج صحیحی را حاصل نمی کنند.