در ریاضیات، یک میدان متناهی ( به انگلیسی: finite field ) یا میدان گالوا ( به انگلیسی: Galois field ) که به افتخار اواریست گالوا نامگذاری شده است، یک میدان است که شامل تعداد متناهی عنصر است. مثل هر میدانی، یک میدان متناهی یک مجموعه ای است که روی آن عملیات ضرب، جمع، تفریق و تقسیم تعریف شده و قواعد مبنایی معینی را برآورده می سازد. معمول ترین مثال های میدان متناهی همان میدان اعداد در پیمانه p است که در آن p یک عدد اول است.
مرتبه ( به انگلیسی: order ) یک میدان متناهی همان تعداد عناصر آن است، که این مرتبه یا یک «عدد اول» است یا یک «نمای اول» است. برای هر عدد اول p و هر عدد صحیح مثبت k میدان هایی از مرتبه p k وجود دارد که همه آن ها یکریخت هستند.
مفهوم میدان متناهی در تعدادی از حوزه های ریاضیات و علوم رایانه، شامل نظریه اعداد، هندسه جبری، نظریه گالوا، هندسه متناهی، رمزنگاری و نظریه کدگذاری یک مفهوم بنیادین است.
یک میدان متناهی یک مجموعه متناهی است که یک میدان هم هست؛ یعنی ضرب، جمع، تفریق، و تقسیم ( به استثنای تقسیم بر صفر ) در آن تعریف شده است و قواعد حسابی که اصول موضوع میدان نام دارد را برآورده می سازد.
تعداد عناصر یک میدان متناهی «مرتبه» آن یا گاهی اندازه ( سایز ) آن نامیده می شود. یک میدان متناهی مرتبه q وجود دارد، اگر وتنها اگر q یک نمای اول pk باشد ( که در آن p یک عدد اول است و k یک عدد صحیح مثبت است ) . در یک میدان از مرتبه pk جمع p نسخه از هر عنصر، همیشه منجر به صفر می شود؛ یعنی مشخصه میدان برابر p است.
اگر q = pk باشد، همه میدان های از مرتبه q یکریخت هستند ( بخش وجود و یکتایی را در زیر ببینید ) . [ ۱] بعلاوه، یک میدان نمی تواند شامل دو زیرمیدان متناهی متفاوت با یک مرتبه یکسان باشد. از این رو می توان همه میدان های متناهی با یک مرتبه یکسان را شناسایی کرد، و به صورت غیرمبهم توسط F q ، Fq، یا GF ( q ) نشان داد، که در آن حروف GF مخفف «میدان گالوا» یا "Galois field" است. [ ۲]
در یک میدان متناهی از مرتبه q، چندجمله ای Xq − X دارای ریشه هایی شامل همه q عنصر از میدان متناهی است. عناصر غیرصفر از یک میدان متناهی یک گروه ضربی را می سازد. این گروه، یک گروه دوری است، از این رو همه عناصر غیرصفر را می توان به صورت توان های یک عنصر منفرد که «عنصر اصلی» میدان نام دارد، بیان کرد. ( در کل برای یک میدان ممکن است چندین عنصر اصلی وجود داشته باشد ) .
این نوشته برگرفته از سایت ویکی پدیا می باشد، اگر نادرست یا توهین آمیز است، لطفا گزارش دهید: گزارش تخلفمرتبه ( به انگلیسی: order ) یک میدان متناهی همان تعداد عناصر آن است، که این مرتبه یا یک «عدد اول» است یا یک «نمای اول» است. برای هر عدد اول p و هر عدد صحیح مثبت k میدان هایی از مرتبه p k وجود دارد که همه آن ها یکریخت هستند.
مفهوم میدان متناهی در تعدادی از حوزه های ریاضیات و علوم رایانه، شامل نظریه اعداد، هندسه جبری، نظریه گالوا، هندسه متناهی، رمزنگاری و نظریه کدگذاری یک مفهوم بنیادین است.
یک میدان متناهی یک مجموعه متناهی است که یک میدان هم هست؛ یعنی ضرب، جمع، تفریق، و تقسیم ( به استثنای تقسیم بر صفر ) در آن تعریف شده است و قواعد حسابی که اصول موضوع میدان نام دارد را برآورده می سازد.
تعداد عناصر یک میدان متناهی «مرتبه» آن یا گاهی اندازه ( سایز ) آن نامیده می شود. یک میدان متناهی مرتبه q وجود دارد، اگر وتنها اگر q یک نمای اول pk باشد ( که در آن p یک عدد اول است و k یک عدد صحیح مثبت است ) . در یک میدان از مرتبه pk جمع p نسخه از هر عنصر، همیشه منجر به صفر می شود؛ یعنی مشخصه میدان برابر p است.
اگر q = pk باشد، همه میدان های از مرتبه q یکریخت هستند ( بخش وجود و یکتایی را در زیر ببینید ) . [ ۱] بعلاوه، یک میدان نمی تواند شامل دو زیرمیدان متناهی متفاوت با یک مرتبه یکسان باشد. از این رو می توان همه میدان های متناهی با یک مرتبه یکسان را شناسایی کرد، و به صورت غیرمبهم توسط F q ، Fq، یا GF ( q ) نشان داد، که در آن حروف GF مخفف «میدان گالوا» یا "Galois field" است. [ ۲]
در یک میدان متناهی از مرتبه q، چندجمله ای Xq − X دارای ریشه هایی شامل همه q عنصر از میدان متناهی است. عناصر غیرصفر از یک میدان متناهی یک گروه ضربی را می سازد. این گروه، یک گروه دوری است، از این رو همه عناصر غیرصفر را می توان به صورت توان های یک عنصر منفرد که «عنصر اصلی» میدان نام دارد، بیان کرد. ( در کل برای یک میدان ممکن است چندین عنصر اصلی وجود داشته باشد ) .
wiki: میدان متناهی