مکمل دو

مکمل دو یا متمم دو، در رایانه های دیجیتال برای ساده کردن عمل تفریق و سایر عملیات منطقی به کار می روند. از این روش برای نمایش و کار با اعداد علامت دار ( اعداد منفی و اعداد مثبت ) استفاده می گردد. مکمل دو روش موفقی برای اینکار است چرا که ساده ترین روش برای مدارات الکتریکی است تا یک عدد علامت دار را محاسبه نمایند. هرچند در گذشته روش های دیگری مانند مکمل یک استفاده می گردید، اما رایانه های امروزی از روش مکمل دو استفاده می کنند.
در هر مبنایی مثل r، دو نوع متمم وجود دارد. یکی متمم مبنا و دیگری متمم مبنای کاهش یافته. در مبنای دو یا همان دستگاه اعداد دودویی نیز، دو نوع متمم وجود دارد. یکی متمم دوم یا همان متمم مبنا و دیگری متمم اول یا همان متمم مبنای کاهش یافته.
مکمل دو یک عدد k بیتی مانند n برابر است با 2 k − n
مدار هایی که عملیات های ریاضی جمع و ضرب اعداد k بیتی را انجام می دهند، عموما این کار را به پیمانه 2 k انجام می دهند. یعنی اگر مثلا مداری دارید که اعداد ۴ بیتی را جمع می زند، و به آن 13 = ( 1101 ) 2 و 9 = ( 1001 ) 2 را ورودی دهید، آن مدار به شما ( ( 13 + 9 ) mod 2 4 ) = ( 22 mod 16 ) = 6 = ( 0110 ) 2 را تحویل می دهد.
اگر این خاصیت را کنار این خاصیت مکمل دو بگذاریم که "مکمل دو هر عدد با منفی آن عدد به پیمانه 2 k همنهشت است"، می توانیم در عملیات های ریاضی به جای منفی اعداد، از مکمل دو آن ها استفاده کنیم.
فرض کنید با دستگاه های ۴ بیتی کار می کنیم.
مکمل دو عدد ۳، برابر 2 4 − 3 = 13 است.
جمع ۵ با منفی ۳ یا همان ۵ منهای ۳، برابر 5 + 13 mod 16 = 2 است.
ضرب 2 در منفی ۳ با دستگاه های ۴ بیتی، برابر 2 ∗ 13 mod 16 = 10 است که ۱۰ طبق تعریف، مکمل دو عدد 6 یا همان منفی 6 است.
در دستگاه اعداد دودویی پیدا کردن مکمل یک اعداد بسیار ساده است. کافیست به جای صفرها، یک، و به جای یک ها صفر قرار دهید.
مثال یک
متمم اول عدد ( ۱۰۱۱۰۰۰ ) ۲ برابر است با ( ۰۱۰۰۱۱۱ ) ۲ مثال دو
متمم اول عدد ( ۰۱۰۱۱۰۱ ) ۲ برابر است با ( ۱۰۱۰۰۱۰ ) ۲ مثال سه
همانطور که می بینید در این مثال با رها کردن دو صفر کم ارزش تر و اولین ۱ و سپس جایگزینی همهٔ ۱ها با ۰ها و همهٔ ۰ها با ۱ها در چهار رقم باارزش تر باقی مانده ، یا با با معکوس کردن ( تغییر یک به صفر، و بلعکس ) و جمع کردن عدد یک با عدد معکوس شده، مکمل دوم آن بدست می آید.