موجک

موجک ( به انگلیسی: Wavelet ) دسته ای از توابع ریاضی هستند که برای تجزیه سیگنال پیوسته به مؤلفه های فرکانسی آن بکار می رود که رزولوشن هر مؤلفه برابر با مقیاس آن است. تبدیل موجک تجزیه یک تابع بر مبنای توابع موجک می باشد. موجک ها ( که به عنوان موجک های دختر شناخته می شوند ) نمونه های انتقال یافته و مقیاس شده یک تابع ( موجک مادر ) با طول متناهی و نوسانی شدیداً میرا هستند. چند نمونه موجک مادر در شکل زیر نمایش داده شده اند.
تعداد زیادی تبدیل موجک وجود دارد که لیست آن را می شود در فهرست تبدیل های مرتبط با موجک مشاهده نمود. معمول ترین این تبدیل ها عبارتند از:
• تبدیل موجک پیوسته ( Continuous wavelet transform ( CWT
• تبدیل موجک گسسته Discrete wavelet transform ( DWT )
• تبدیل سریع موجک Fast wavelet transform ( FWT )
• Lifting scheme
• تجزیه بسته های موجکWavelet packet decomposition ( WPD )
• تبدیل موجک ساکن Stationary wavelet transform ( SWT )
موجک ها بر مبنای دو عمل اصلی قرار دارند:
• انتقال ( Translation )
W ( x ) − − > W ( x + a )
• پهن شدگی ( Dilation )
W ( x ) − − > W ( b x )
در مقایسه با تبدیل فوریه می توان گفت که تبدیل موجک دارای خصوصیت محلی سازی بسیار خوبی است. به طور مثال تبدیل فوریه یک پیک تیز دارای تعداد زیادی ضریب است، چرا که توابع پایه تبدیل فوریه توابع سینوسی و کسینوسی هستند که دامنه آن ها در کل بازه ثابت است، در حالی که توابع موجک توابعی هستند که بیشتر انرژی آن ها در بازه کوچکی متمرکز شده است و به سرعت میرا می شوند. بنابراین با انتخاب مناسب موجک های مادر می توان فشرده سازی بهتری در مقایسه با تبدیل فوریه انجام داد. [ ۱]
در تاریخ ریاضیات مبادی و ریشه های متعددی را می توان برای موجک ها سراغ گرفت.
مربوط به قبل از ۱۹۳۰ ( م ) می توان به آنالیز فرکانس ها اشاره کرد، که به وسیلهٔ فوریه شروع شد.
استفاده از واژهٔ موجک ها، برای اولین بار، در یکی از ضمیمه های تز آلفرد هار ( ۱۹۰۹ م ) ظاهر شد. امروزه هم، این موجک ها به همان نام یعنی به موجک های هار معروف اند. موجک های هار دارای دامنهٔ تعریف فشرده ( compact ) بوده، و غیر مشتق پذیر به صورت پیوسته هستند.
در این دهه چند گروه پیرامون موضوع نمایش توابع با به کارگیری پایه های با مقیاس متغیر برای تنیدن فضاهای توابع تحقیق می نمودند.